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Sean F y G dos subespacios de ℝ⁵ definidos por

FΞ x₁- x₂ + 2x₃+ x₄ -2x₅=0

      x₁+x₂+x₃-3x₄+x₅=0
GΞ
     x₁+x₂+2x₃+2x₄-x₅=0


Se verifica:

1. F⊕G=ℝ⁵  . Con el símbolo ⊕ hago referencia a la suma directa.
2. F+G=ℝ⁵
3. dim(F+G)=3
4. dim (F∩G)=3

Hola,

dim F = 4
dim G = 3


Para ver la dimensión de la intersercción vemos el rango del sistema formado por las tres ecuaciones y sale rango 3:


Hay tres ecuaciones independientes y cinco incognitas. (dim = 5 - 3 = 2 nº parámetros)

dim (F∩G) = 2

No es suma directa pues la intersección no es sólo el 0

Por otro lado, sabemos que:

dim (F+G) + dim (F∩G) = dim F + dim G

dim (F+G) = dim F + dim G - dim (F∩G) = 4 + 3 - 2 = 5

La solución, creo, es F+G=ℝ⁵  (2)