Función creciente y/o decreciente.

Creciente  en x_o si para   x > x_o     F(x) ≥ F(x_o)   ► F ' (xo) ≥ 0

ya que:

		F(x) - F(xo)
F'(xo) =	Lim	————————	≥ 0
	x → xo	x - xo

 Una función F(x) se dice que es Creciente en un punto, x_o, si su derivada, en ese punto, x_o, es positiva;   F '(x_o) ≥ 0. En la gráfica se puede ver que esto ocurre desde -∞ hasta a y desde b hasta +∞. En esos intervalos la derivada (pendiente) está por encima del ejes X (es positiva).

Decreciente  en x_o si para   x > x_o     F(x) ≤ F(x_o)   ► F ' (xo) ≤ 0

 Una función F(x) se dice que es Decreciente en un punto, x_o, si su derivada, en ese punto, x_o, es negativa;   F '(x_o) ≤ 0. En la gráfica se observa que esto ocurre para valores de x comprendidos entre a y b. En este intervalo la derivada está por debajo del eje X (es negativa).

 

		F(x) - F(xo)
F'(xo) =	Lim	———————	≤ 0
	x → xo	x - xo

F(x) = 1/(x² + 1)    Se observa que para x є (- ∞, 0] es creciente, es decir, al aumentar la x, aumenta F(x). Su derivada es positiva en ese intervalo .
Para x є (0 , + ∞], es decreciente, al aumentar la x disminuye F(x). Su derivada es negativa.
Su derivada es: F ' (x) = - 2·x/(x² +1)² que como puede observar es positiva para x < 0 y negativa para x > 0.

 

Máximos y Mínimos Relativos. Puntos Singulares.

Máximos de una Función.

  En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativa, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'(x_o) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (se anula y cambia de signo). Máx en (a,f(a))

Mínimos de una Función.

  En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(x_o) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín en (b,f(b).
  Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).

Para estudiar un caso práctico vaya aquí.

Puntos de Inflexión de una función. Máximos y mínimos de la derivada. Concavidad.

  Un punto de inflexión es aquel donde la función derivada tiene un máximo o mínimo, es decir, un punto singular. Se dice que la función tiene un cambio en la concavidad.
  Para calcular los puntos de inflexión hay que igualar a cero la derivada segunda y comprobar que ésta cambia de signo. Es decir, estudiar los máximos y mínimos de la primera derivada, para ello se deriva la primera derivada (segunda derivada) y se anula. En los puntos donde la segunda derivada se anule y cambie de signo, la función tendrá un punto de inflexión y su derivada un máx o un mín. En la gráfica, en x = 0 la función tiene un punto de inflexión y en el su derivada tiene un mínimo en (0,c).
  Donde la derivada segunda sea positiva se dice que la función es cóncava positiva y donde es negativa concavidad negativa. Un punto de inflexión es donde la función cambia de concavidad.

  En F(x) = x⁴ - 4·x² = x²·(x² - 1) puede observarse que su derivada:
F'(x) = 4·x³ - 8·x = 4·x·(x² - 2) presenta un máximo y un míninimo en x = ± √(2/3). Es aquí donde la función presenta puntos de inflexión. Vea ambas.

Para estudiar un caso práctico vaya aquí.