Dominio.
Recordemos que el Dom de F(x) está formado por los número
reales (originales) que tienen imagen. Al sustituir la x por un valor numérico,
F(x) nos devuelve, también, un valor numérico. Por tanto el Dom F(x) es
R o - ∞ <
x < ∞ o (- ∞ , ∞). En general, el dominio de un polinomio es
siempre
R.
Puntos de corte con eje
X.
Los puntos del eje X tienen la forma (a , 0), es decir y
= 0. Para calcular dichos puntos resolvemos la ecuación: F(x) = 0
F(x) = x3 - 9·x = x·(x2 - 9) = x·(x - 3)·(x+3) ► x = 0 , x =
±3. Los puntos buscados son: (-3 , 0) ; (0 , 0) y (3 , 0). Vea
la gráfica y compruébelo.
Punto de corte con eje
Y.
Los puntos del eje Y tienen la forma (0 , a), es decir x
= 0. Para calcular dicho punto (uno como máximo) se hace a = F(0)
► (0 , F(0)) ► (0 , 0)
Estudio del signo de la
función.
Para ver dónde la función es positiva (está encima del
eje X) o negativa (debajo del eje X) se factoriza la función, encontrando los
puntos de cortes con el X, ya calculados. Téngase en cuenta que dicho eje es la
frontera entre los positivos y negativos de la función. El siguiente paso es
delimitar los intervalos entre los puntos de corte, es decir:
- ∞ < x < -3
Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo,
x= -10 ► F(x) < 0
- 3 < x < 0
Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo,
x= -1 ► F(x) > 0
0 < x < 3
Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo,
x= 1 ► F(x) < 0
3 < x < ∞
Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo,
x= 10 ► F(x) > 0
Ver 
Simetría.
Para el estudio de la simetría hay que ver si F(-x)
y F(x) son iguales (par), de signo opuesto (impar) o distintos (no
tiene simetría).
F(x) = x3 - 9·x
F(-x) = (-x)3 - 9·(-x) = -x3 + 9·x = -(x3 - 9·x) = - F(x) ► S. Impar (respecto origen)
Asíntotas.
Los polinomios carecen de asíntotas de todo tipo ya que
al crecer (o decrecer) la x indefinidamente la función también lo hace (no tiene
horizontal). Además es imposible que para x tendiendo a un número finito,
F(x) crezca indefinidamente (no tiene vertical; ya que no tiene denominador).
Crecimiento. Máximos -
Mínimos. Derivada. Pendiente.
Recordemos que la condición necesaria para que tenga
máx-mín es que su derivada se anule en él. La derivada es la pendiente de la
tangente y en estos puntos la recta tangente tiene pendiente nula (es
horizontal).
F '(x) = 3·x2
- 9 = 0 x2
= 9/3 x = ±√3
. Ahora se estudia el signo de la derivada para ver si cambia de signo en ellos
(condición suficiente).
- ∞ < x < -√3
Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo,
x= -10 ► F '(x) > 0
-√3 < x <
√3
Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo,
x= 0 ► F(x) < 0
√3
< x < ∞
Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo,
x= 10 ► F(x) > 0
En - ∞ < x < -√3
la función es CRECIENTE ya que su derivada es >0 (positiva)
En -√3 < x <
√3
la función es DECRECIENTE ya que su derivada es <0 (positiva)
En
√3
< x < ∞ la función es CRECIENTE ya que su derivada es >0
(positiva)
En x = -√3
la derivada se anula y cambia de signo (de + a -) ► Máximo.
En x = √3
la derivada se anula y cambia de signo (de - a +) ► Mínimo.
Máx en (-√3
, F(-√3
)) ► (-√3
, 6√3
)
Mín en (√3
, F(√3
)) ► (√3
, -6√3
)
Concavidad. Puntos
Inflexión. Derivada segunda.
(Máx-Mín de la Primera Derivada)
Ya sabemos que
para calcular los máximos y mínimos de una función hay que derivar (pendiente) e
igualar a cero. Si quisiéramos estudiar los máx-mín de la derivada tendríamos
que derivar la derivada (segunda derivada) e igualar a cero ésta. Pues eso es lo
que hay que hacer, ya que los puntos de inflexión de la función (donde cambia la
concavidad) son máx o mín de la derivada (observe la figura y compruébelo).
Es decir tenemos que repetir los pasos realizados con F'(x) para F''(x). Así
que:
F''(x) = 6·x = 0 ► x = 0
Ahora comprobamos si la segunda derivada cambia de signo al anularse. Dividimos
la recta Real en dos intervalos:
- ∞ < x < 0
Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo,
x= -10 ► F''(x) < 0
0 < x < ∞
Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo,
x= 10 ► F''(x) > 0
En el primer intervalo la segunda derivada es
negativa ►la primera derivada es decreciente ► la función es convexa.
En el segundo intervalo la segunda derivada es positiva ►la primera derivada es
creciente ► la función es cóncava.
Convexa significa que las rectas (y), tangentes a la
función, están por encima de ella (el valor de y > F(x)). Cóncava lo contrario.
Punto de inflexión es aquel donde cambia de concavidad, es decir, la recta
tangente corta a la curva en un punto de ella, dejando una parte por encima y
otra por debajo. Intente trazar la recta tangente de nuestra función en el punto
(0 , 0). ¡A que esa no era la idea que tenías de recta tangente!.
