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Hola les agradeceria eternamente que me ayudasen ya que ´necesito resolver esete ejercicio lo antes posiobl, y les agradecería mucho cualquier ayuda, les dejo aquí el problema.

Se trata de una rampa con una inclinación de 40 grados, desde lo alto de esta rampa se deja deslizar una masa que cae hasta llegar al final aquí se encuentra con un bucle, es decir, con un looping (como el de las montañas rusas) esta masa da la vuelta completa y sigue sobre una superficie horizontal hasta pararse, la distancia desde k termina el bucle hasta detenerse la llamaremos x.

DATOS:
h= 4metros=altura
R= 0.5 metros = radio del bucle
a= 40 grados= ángulo de inclinación de la rampa
u= 0.07 = coeficiente de rozamiento existente en toda la rampa
sin dar mas datos, el problema de pide calcular la distancia x

desde el comienzo de la rampa hasta el comienzo del bucle la superficie rcorida se tomara como recta; es decir; se desprecia la pequeña curvatura que pasa desde la rampa el bucle

y se sabe k se debe llegar en algún momento a una ecuación diferencial que habrá que resolver.

Muchas gracias de antemano

Hola Carlos5, bienvenid@ al foro (paisano).

Te explico como veo yo el problema. La energía potencial inicial la invierte toda en rozar primero con el plano inclinado, luego en el loops y finalmente en el plano horizontal. Lo difícil es evaluar la energía que ha perdido en dar la vuelta en el rizo.



En él la fuerza de rozamiento es μ·N

En A, por ejemplo, ∑Fc =  N-P·cos α = Fc = M·V²/R

La N = M·V²/R + M·g·cos α

Fr = μ·N = μ·(M·V²/R + M·g·cos α)

Un diferencial de trabajo en el arco R·dα (espacio):

dTr = μ·(M·V²/R + M·g·cos α)·R·dα

Aplicando el principio de conservación de energía dEc + dEp = dTr [1*]

dEc = d (M·V²/2)
dEp = M·g·R·sen α dα

Aplicando [1*]

d (M·V²/2) + M·g·R·sen α dα = μ·(M·V²/R + M·g·cos α)·R·dα

V·dV + g·R·sen α dα = μ·g·R·cos α dα + μ·V²·dα

de donde:

(dV/dα) - μ·V + (g·R/V)·(sen α - μ·cos α) = 0

ecuación diferencial de Bernoulli que resuelve el problema. Ahí te lo dejo, debes buscar la solución de esta ecuación diferencial que te dará la velocidad en cualquier punto de la trayectoria (la que tiene después de haber dado una vuelta rozando). Esa velocidad es la que perderá rozando con el plano horizontal. Es una ecuación diferencial muy típica, no creo que tengas dificultad en hallar las soluciones.

Ecuación diferencial de Bernoulli (Wiki)

Hola paisano jeje, te estoy eternamente agredecido, ya que me era imposible resolverlo, bueno y una cosilloa la ecuacion final no quedaria asi?

dv/dθ - 2μv + (2Rg/v)(senθ - μcosθ) = 0

Ahora le echare una vistazo a esa ecuacion de bernouilli aver si sale, y pongo aki los resultados:)

Muchas gracias de nuevo

Creo que no. Tú has metido ese dos por lo de la energía cinética, que tiene un dos dividiendo y se supone que lo has multiplicado por dos para eliminarlo pero ten en cuenta que la derivada respecto de V de ½·M·V² es M·V (sin el un medio).

Hola buenas, siento molestarte de nuevo, pero mira tengo unas dudas,el problema es:
Tegno resuelta ya la bernuilli y me queda esto

V= √[(μsenθ + cosθ)·(2gR + C)] / (e^μθ)

Que hago con C y
que angulo es θ Deberia integrar de 0 a 2π

Gracias.

Confirma que esta es la expresión:

　　 (μ·sen θ + cos θ)·√(2gR + C)
V = --------------------------------
　　　　　　e^μθ

Buenas, hombre a mi es lo q me ha dado lo he revisado, y creo que esta bien, me sale que la cnt esta en el numerador y dentro de la raiz, pero creo k eso no influye, al ser una constante que no conocemos puede ir como has dicho o incluso en el denominador no?

Gracias

Así, a bote pronto, para que lo vayas pensando tú también. Yo creo que hay que imponer a la ecuacion que cuando θ= 0 la V sea Vo (con la que termina de bajar el primer plano) y luego calcular la V cuando θ=2π. La difrencia de energía cinética entre ambas velocidades sería la energía perdida en el rizo. Pero no veo claro la primera parte, la de imponer que tenga Vo cuando θ=0.

Cuando θ=0 queda, según lo expuesto por ti:


Vo = √(2gR + C) => C = Vo² - 2gR

　　 (μ·sen θ + cos θ)·√(2gR + Vo² -2gR)　　　(μ·sen θ + cos θ)·Vo
V = ------------------------------------- = --------------------------
　　　　　　　　e^μθ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　e^μθ

Ahora cuando θ=0 queda que V = Vo (velocidad con la que empieza el rizo)

Cuando θ = 2π la velocidad queda:

　　　 Vo
V = ---------
　　　e^2πμ

El cambio de energía cinética (energía perdida) sería:

　　　　　　　　Vo²
∆Ec = ½M( ---------- - Vo² ) =
　　　　　　　　e^4πμ

　　M·Vo²　　　1
= -------- ( ----- - 1)
　　　2　　　e^4πμ

Esto tiene buena pinta porque si μ=0 no hay pérdida de energía y además el incremento es negativo (se pierde energía). Si μ aumenta la pérdida de energía es mayor. Yo creo que puede ser así.

Cuando empecé a escribir no sabía lo que te iba a decir y mira por donde ha ido saliendo todo de corrido. Revísalo de todas formas.



La C es para poder plantear las condiciones iniciales del problema y no tienes que integrar porque ya lo has hecho desde el momento en que has resuelto la ecuación diferencial. Si no te importa y cuando tengas tiempo, podrías escribir suscintamente la resolución de la ec diferencial para que quede completo el mensaje y pueda ayudar a otros.

Buenas Maestro jeje, aqui dejo la resolucion "resumida" de la E.D.Bernouilli:

Siguiendo esto:

Ecuación diferencial Benoulli (Wiki)

Resolvemos la E.D.

V=Y, θ=X

dy/dx-μy= (gr/y)(μcosx-senx) → y' + p(x)y= q(x)·yⁿ → forma bernouilli → p(x) = μ ,  Q(x)= gr(μcosx-senx)

y' + μy = gr(μcosx-senx)y^-1

y'/y^-1 + μ/y^-2 = gr(μcosx-senx)

y'/y^-1 + μ/y^-2 = gr(μcosx-senx)

cambio => z(x)=1/y^-2 ; z'(x)= (y²)'= 2yy'

z'(x) = (2/y^-1y'; yy'(x) = (1/2)z'(x);            Y=z(x)

yy' + μy² = gr(μcosx-senx) => (1/2)z'(x) + μz(x) = gr(μcosx-senx) => z'(x) + 2μz(x) = 2gr(μcosx-senx)


z(x) = 2 ∫gr(μcosx-senx) / (e^2∫μdx) => z(x) = 2gr ∫(μcosx-senx) / (e^2∫μdx)

deshacemos => y²= 2gr ∫(μcosx-senx) / e^2μ∫dx ; y²= 2gr (μ∫cosx-∫senx) +c / (e^2μx)

y= √ [2gr (μ∫cosx-∫senx) +c / (e^2μx)]

y= √ [2gr (μ∫cosx-∫senx) +c] / √(e^2μx)

y= √[2gr (μ∫cosx-∫senx) +c] /e^μx

esto es lo que queda V= √[2gr (μ∫cosθ-∫senθ) +c] /e^μθ

si hacemos el problema como has planteado que me parece muy buena idea quedaria asi:

Vo = cuando θ=0
V = cuando θ=2π; entonces

sustituyendo θ=0 en Vo y despejando c sale que C = Vo² - 2gR

ahora yo llego a una pequeña duda, la constante en Vo es la misma que en V ??? si es asi si que se puede sustituir en caso afirmativo quedaria esto:

V= √[2gr (μ∫cosθ-∫senθ) + Vo² - 2gR] /(e^μθ) => V = Vo/e^2πμ

ahora si θ=2π entonces nos queda que v=Vo/ e^2πμ


entonces : ∆Ec = m/2( V²-Vo²) => ∆Ec = m/2( [Vo²/e^4πμ] -Vo²) => ∆Ec = (m/2)Vo² ( [1/e^4πμ] -1)


Ahora calculamos la Vo del plano inclinado:  ΣF = ma => Px - Fr = ma => mgsenθ - mgcosθμ = ma entonce:
a = g(sen40-cos40μ) = 5.77 m/s²     Por lo que Vf = √(2as) => Vf = √[(2·5.77) / (sen40)]  Vf = 4,24 m/s

Ahora yo diria que la energia potencial en el plano se convierte en Wr del plano mas Ec perdida del looping mas Wr de la superficie horizontal.

el sustituir Vo en ∆Ec Ec perdida = -m·5.26 ;
Wrplano = -Fr·s =μmgcos40/ sen40 = -m0.8181
Wrhorizontal = -Fr·X donde x es lo que queremos saber => -mgμX =-m0.6864X

Entonces Ep = Ecperdida + Wrplano + Wrhorizontal => 9.8 = 0.8181 + 5.26 + 0.6864X
y a mi me sale que:

X = 5.4223m

me parece muy logico no?