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He aquí otro de los que no consigo resolver, en este no soy capaz ni de hacerme bien el dibujo para empezar a resolverlo, dice así:


Una esfera de peso P y radio R se sostiene sujeta a una pared vertical mediante un hilo de longitud L > R. Uno de los extremos del hilos está unido a la pared y el otro a la superficie de la esfera, Se observa que el sistema permanece en equilibrio con el hilo tangente a la superficie de la esfera. a) Determinar el angulo β que forma el hilo con la pared. b) Calcular la tensión del hilo, T. c) Calcular la reacción normal, N y la fuerza de rozamiento, Fr, entre la esfera y la pared. d) Suponiendo que el coeficiente de rozamiento es μ, ¿en qué condiciones es posible que se produzca la situación de equilibrio mencionada?

Soluciones:

a) sen β = 2LR/(L²+R²) ; cos β= (L²-R²)/(L²+R²)
b) T = P/(1+cosβ)
c) N = Psenβ/(1+cosβ);  Fr = T
d) μ ≥ (1/sen β)

Hola,




          catet_opues        R+R·cos β
sen β = ------------- = ------------
             hipoten                 L

L·sen β = R + R·cos β = R + R·√1 - sen² β

L·sen β - R = R·√1 - sen² β => Elevando al cuadrado: (L·sen β - R)² = R²·(1-sen² β)  =>

L²·sen² β + R² - 2·R·L·sen β = R² - R²·sen² β        Simplificando:

(L² + R²)·sen² β - 2·R·L·sen β = 0     =>     sen β = 0             o

             2·R·L
sen β = ---------
           L² + R²
                             (L² + R²)² - (2·R·L)²      L⁴ + R⁴ + 2·L²·R² - (2·R·L)²
cos² β = 1 - sen² β = -------------------- = ---------------------------- =
                                   (L² + R²)²                     (L² + R²)²

   L⁴ + R⁴ - 2·L²·R²        (L² - R²)²                            L² - R²
= ----------------- = -----------       =>     cos β = -----------
      (L² + R²)²             (L² + R²)²                           L² + R²

N - T·sen β = 0              Eje X     [1*]

Fr + T·cos β - P =  0       Eje Y      [2*]

N·(L·cos β + R·sen β) = P·R        [3*]   Momentos desde O (sujeción cuerda pared)

De [3*]

                 P·R                                   P·R
N = --------------------- = --------------------------------- =
       L·cos β + R·sen β                L² - R²                 2·R·L
                                       L· -------------- + R· -----------
                                              L² + R²                L² + R²

         P·R·(L² + R²)            P·R·(L² + R²)      P·R
= ---------------------- = -------------- = -----
     L·(L² - R²) + 2·R²·L         L(L² + R²)          L

De [1*]

          N             P·R·(R² + L²)        P·(R² + L²)
T = ----------- = -------------- = --------------
        sen β             L·2·R·L                2·L²


De [2*]

Fr + T·cos β - P =  0   =>    Fr = P - T·cos β =

         P·(L² - R²)          P·(L² + R²)
= P - --------------- = ------------ = T
              2·L²                  2·L²

Fr ≤ μ·N           (μ·N  es la máxima fuerza de rozamiento)

P·(L² + R²)
----------- ≤ μ·P·R/L    =>    Operando (simplificando)
  2·L²

=>    (L² + R²) ≤ 2·μ·R·L          =>    μ ≥ (L² + R²)/(2·R·L) = 1/sen β

Bravo profe.