Foros Ciencias Galilei

Considérese una masa unida a un muelle, todo el sistema descansando en una superficie horizontal (lisa). Imagina que se desplaza la masa desde el reposo (x=0) hasta un cierto valor x= +A. Estamos interesados en determinar la velocidad que tiene la masa al paso por la posición de reposo.
a) Realiza el planteamiento dinámico para tratar de determinar dicha velocidad, e indica con qué problemas nos encontramos en esta situación.
b) Realiza a continuación el planteamiento energético para determinar dicha velocidad al paso por la posición de reposo.
c) Compara los dos planteamientos y saca las conclusiones de por qué es conveniente en este caso el método energético. Destaca todas las ventajas que ofrece dicho método.

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Hola,

Por dinámica:

a = dv/dt

dv = a·dt

v = ∫a·dt

Buscamos 'a' en función de 't':

ω² = K/m

x = A·cos (ω·t)     (para t = 0  se encuentra en  x = A, está a la derecha)

v = -A·ω·sen (ω·t)         (para t = 0  la velocidad es negativa, viene hacia izquierda)

a = -A·ω²·cos (ω·t)

Pasará por la posición de equilibrio cuando x = 0

x = A·cos (ω·t) = 0   =>    ω·t = π/2   =>   t = π/(2·ω)

Hacemos la integral:

    _{π/(2·ω)                                                       π/(2·ω)}
v = ∫a·dt =  -A·ω²·∫cos (ω·t) dt = -A·ω·[sen (ω·t)] =
    ^{0                                                                0}

=  -A·ω·sen (ω·π/(2·ω)) = -A·ω·1 = -A·ω = -A·√(K/m)    m/s

La velocidad es negativa, va hacia la izquierda.

Por energía:

El trabajo de la fuerza elástica (K·x) se invierte en aumentar la Ec (T fuerzas vivas):

Como es un campo conservativo, ese trabajo no depende del recorrido y vale Ep = ½·K·x²

∆Ec = ½·K·x²       =>    ½·m·v² =  ½·K·x²    =>    m·v² =  K·x²     =>   v² = (K/m)·x²   =>

=>  v = A·√(K/m)

No tenemos el vector velocidad (sabemos que se mueve hacia la izquierda por lógica). Obtenemos su módulo.