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Una bola de masa m desliza sobre la superficie interior de un paraboloide cuyo eje está en la dirección de la gravedad. Inicialmente la masa se encuentra en reposo y a una altura h del fondo del paraboloide. Determinar:
a) la aceleración de la bola en cualquier instante de tiempo
b) la fuerza con la que la bola actúa sobre la superficie en el punto más bajo del paraboloide.

Dato: la ecuación del paraboloide es z=k(x²+y²)

Este es un problema de examen de la UNED, sé que debo utilizar cilíndricas, pero poco más, por energías??? No sé.

El movimiento de la masa se puede considerar sobre un plano, por ejemplo sobre el plano x-z ; describe la trayectoria z=kx²
Las fuerzas sobre la partícula son la normal y la aceleración de la gravedad.
La aceleración de la partícula se descompone en aceleración tangencial a lo largo de la trayectoria y aceleración centrípeta  a lo largo del radio de curvatura.

a = a_T T + a_N N      (T y N vectores unitarios tangencial y normal, respectivamente)
La magnitud de la aceleración: a=( a_T² + a_N² )^1/2  (ec. 1)
Tan α = dz/dx = 2kx

Aceleración tangencial:
a_T = g Cos β
a_T² = g² Cos²β = g² Sen²α = g² Sen²α Cos²α / Cos²α = g² Tan²α / Sec²α= g² Tan²α /(1+ Tan²α)
Reemplazando:  Tan α  = 2kx, teniendo en cuenta que z=kx²

a_T²=  4k g² z / (1+ 4kz)  (ec. 2)

Aceleración centrípeta: a_N = v² / ρ

Por conservación de energía:  mgh = mgz + m v² / 2   →  v² = 2g(h-z)

Radio de curvatura: ρ = [1 + (dz/dx)² ]^3/2 /  (d²z / dx² ) →  ρ = (1 + 4kz)^3/2 / (2k)

a_N  =  v² / ρ  =  4kg (h-z) / (1 + 4kz)^3/2 →  a_N² =  [4kg (h-z)]² / (1 + 4kz)³  (ec. 3)

Reemplazando ec.2 y ec. 3 en ec.1:
           _______________________________
a= 2g √ k [4k(h-z)² + z(1+4kz)²] / (1+4kz)³

Aceleración en cualquier instante.


En el punto más bajo de la trayectoria: a = 4ghk (Para z=0).
Corresponde a una fuerza centrípeta a lo largo del eje del paraboloide en sentido positivo:  F = 4mghk
La fuerza de la bola sobre la superficie es opuesta a la anterior fuerza, sentido negativo.

Saludos.

Muchas gracias por responder.
Todavía no lo he pillado bien, pero lo repasaré más detenidamente. Gracias de nuevo

Un saludo