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Por un plano inclinado que forma un angulo de 30º con la horizontal se lanza hacia arriba un bloque de 1 kg de masa con una velocidad inical de 5 m/s. El bloque asciende hasta una altura máxima de 1 metro. Calcular el coeficiente de rozamiento entre la caja y la superficie del plano inclinado.

Dos objetos identicos de masa m se encuentran en la parte superior de un plano inclinado (45º) con rozamineto (0'5) a una altura h del suelo. si uno de ellos desliza hacia abajo por el plano y el otro se deja caer en caida libre vertical en el mismo instante, hallar la relación entre los tiempos de caída hasta la base del plano entre ambas situaciones.

- Hola:


Dibujamos todas la fuerzas y descomponemos el peso en la dirección tangencial (Px) y normal hacia dentro del plano (Py). Px es la parte del peso que hace deslizarse el cuerpo hacia abajo; Py es la parte del peso que presiona contra el plano inclinado. Como el cuerpo no se hunde en el plano, este tiene que estar compensándolo con otra fuerza normal N opuesta. La fuerza de rozamiento siempre se opone al avance, luego aquí tira hacia atrás, pues el cuerpo sube por el plano.

Conviene hacerlo mediante energías:

En A el cuerpo no tendrá la misma energía que en B porque el rozamiento consume energía:

E_A = E_B no es entonces cierto. Sin embargo, como en B habrá menos energía que en A por lo dicho, podemos añadir el defecto de energía. Tal defecto es el trabajo hecho por la Fr, que siempre es negativo por oponerse al avance, pero para no liarnos lo añadimos como + donde sabemos que falta E:

   E_A ≠ E_B  , pero:

   E_A = E_B  + |Wr|

   E_A = E_B + Fr * s

   1/2 m v² = m g h + Fr s

     Como siempre es Fr = μ N   y aquí es N = Py => Fr = μ Py => Fr = μ m g cos α; llevándolo al cálculo:

     1/2 m v² = m g h + μ m g (cos α) s =>

=> 1/2 v² = g h + μ g (cos α) s;  pero no conocemos s, espacio recorrido a lo largo del plano, sino la altura alcanzada. Hacemos:

    sen α = h/s => s = h/sen α  y reemplazamos:

    1/2 v² = g h + μ g (cos α) h/sen α  ;vamos despejando μ limpiando un poco:

   1/2 v² - g h = μ g h/tg α  =>

             1/2 v² - g h
=>  μ =  --------------- tg α
                    g h
                                           
                                               1/2 * 5² - 9,8 * 1  
  Y ya sustituyendo valores:  μ =  -------------------- * tg 30 =>
                                                      9,8 * 1


=> μ = 0,16

Primero, el cuerpo en caída libre está sometido solo a su peso.
Por energías, considerando que no hay pérdidas:  E_A=E_B , es el principio de conservación de la E mecánica.

   m g h = 1/2 m v² => 2 g h = v² => v = √2gh
                                                                  
                                                                 
 por cinemática: v - v_o = g t =>                                                             


           v               √2 g h  
=> t = ----- => t = --------- =>
           g                    g

=> t = √2h/g  es el tiempo que tarda en caer un cuerpo libremente sin rozamiento.
[Comprobamos que la expresión arroja unidades de tiempo].

Para el cuerpo que se desliza por el plano inclinado.
Por dinámica, tenemos las siguientes ecuaciones:
 
   Puesto que en vertical (dirección normal o ⊥ al plano) no hay movimiento, es Σ F_y = 0, es decir, N = P_y

   En horizontal (tangencialmente al plano) sí hay movimiento acelerado, luego la fuerza neta es Σ F_x = m a . De esta deducimos:

      Fuerzas que favorecen el avance, +; las que se oponen,-  
                                        
                                            Px - Fr
             Px - Fr = ma  =>  a = --------- ; la intención es hallar la aceleración del movimiento y luego hallar t por cinemática.
                                               m

                              
               sabemos que Px = P sen α = m g sen α;  además  Fr = μ N  siempre, y sabemos que N=Py= m g cosα

 Pues sustituyendo en la aceleración:

                 m g sen α - μ m g cos α
          a = -------------------------- =>
                             m

   a = g (sen α - μ cos α)   [una aceleración igual a otra multiplicada por un nº: pues sí vale]

  Por cinemática sabemos que  s=v_ot+1/2 at² => s=1/2 at² => t = √2s/a


  Entonces en t = √2s/a   hay que introducir   a = g (sen α - μ cos α) , esto es:

          Un retoque previo es que no conocemos s, espacio avanzado a lo largo del plano, pero sí la altura de la que cae y el ángulo, luego:

                            h
                sen α = --- => s = h/sen α
                            s

Y tenemos en la expresión del tiempo para el cuerpo que se desliza por el plano:

                                      2 h
           t =  √ [ ----------------------------]        
                          (sen α) g (sen α - μ cos α)


Ahora solo queda comparar ambos tiempos: el de caída libre (t) y el del cuerpo deslizado (t'):

Anticipando que el cuerpo que baja por el plano tardará más, hacemos mejor t_plano/t_libre

                             √2h
t'/t = --------------------------------------
           √2h/g * (sen α) g (sen α - μ cos α)   

la expresión debe ser adimensional por ser un cociente de tiempos (y, comprobándolo, lo es).

Por último, simplificando:

                      1
t'/t = ----------------------------
        √[ sen α (sen α - μ cos α) ]


Y ahora, sabiendo que α=45º, μ=0,5

t/t' = 1/[ √ ( √2/2 * (√2/2 - 0,5 * √2/2))] = 1 / √( √2/2 * √2/4) ) =

= 1 / √(2/8) = 2  

El cuerpo que baja por el plano tarda el doble, en esas condiciones, que el que cae libremente.

¡Venga!