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Un paralelogramo tiene por vertices consecutivos los puntos A(1,3) ; B(5,5) ; C(3,9) y D. Halla

a) las coordenadas del cuarto vertice D
b) la ecucion de la diagonal AC
c) la ecuacion de la recta altura desde C

Gracias

- Hola, Edu. En este enlace tienes resueltos problemas idénticos:

c) Un paralelogramo tiene por vértices consecutivos los puntos A(1,3) ; B(5,5) ; C(3,9) y D. Halla la ecuacion de la recta altura desde C.

- La ecuación de la altura desde C será la de la recta perpendicular al lado AB pasando por C:

    El vector AB = B - A = (5 , 5) - (1 , 3) = (4 , 2) ---> simplificamos a (2 , 1) es vector director en la dirección de AB.
    Un vector perpendicular a AB es el v = (-1 , 2) (cambio el orden y el signo de una componente).
    La recta altura lleva entonces vector v = (-1 , 2) y pasa por el pto C(3 , 9), luego en fª continua será la:

        x - 3      y - 9  
       ------ = -------
          -1          2

Espero se resuelvan tus dudas.

He estado mirando el enlace que me as dejado, pero no lo veo muy claro.... ¿ Podrias desarrollarlo tu, si no es mucho pedir ?
Saludos

- Hola, Edu. Sin problema.



El paralelogramo tiene cuatro lados paralelos "dos a dos". En el dibujo,  AB || DC  y  AD || BC. Estos cuatro elementos son segmentos, y cada uno está incluido en una recta. Cualquiera de los vértices se puede considerar como intersección de dos de esas rectas.

Una forma eficaz de hallar el vértice D es como intersección de las rectas AD y DC, que no tenemos; sin embargo, AD es una paralela a BC que pasa por A, y lo tenemos todo para hallar esta recta AD:

  vector BC = C-B = (3,9) - (5,5) = (-2 , 4) = BC es el vector director de la recta BC, y por tanto, de la AD por ser paralelas.
  vector AD = (-2 , 4). Como solo queremos su dirección, nada impide simplificarlo al AD = (-1 , 2)

 Formamos la recta AD con el vector AD=(-1,2) y el punto A(1,3):

         x-1      y-3
 AD:  ----- = ----
         -1       2

Ahora, la recta CD como paralela a la AB que pasa por C:

 AB = B-A = (5,5) - (1,3) = (4,2). Luego CD = (2,1) simplificándolo.
 Recta con la dirección CD que pasa por C(3,9)  (un punto no se puede simplificar nunca):

        x-3      y-9
CD:  ----- = -----
         2          1

Ahora hay que hallar la intersección de ambas rectas: resolvemos el sistema que forman, pero conviene pasarlas a fª implícita:

         x-1      y-3
 AD:  ----- = ----  =>  2(x-1) = -(y-3) => 2x-2=-y+3 => 2x+y-5=0
         -1         2

         x-3      y-9
CD:  ----- =  ----- =>  x-3 = 2(y-9) => x-3=2y-18 => x-2y+15=0
          2          1

Resolviendo el sistema, x=-1 y =7, luego D(-1 , 7) es el cuarto vértice.

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Nota: se aprecia que AB · BC = 0 y que |AB| = |BC| ¿qué crees que significa?
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AC = C-A = (3,9) - (1,3) = (2,6) --> AC = (1,3) simplificando.

Recta con vector AC y que pasa por A(1,3)  (o por B indistintamente):

    x-1       y-3
  ------ = -----                     (Fª continua: arriba el pto, restando; en denominadores, el vector).
     1          3

Muchas gracias..... una duda : ¿ si te pidiesen el area de la figura, como seria el proceso para obtenerla ?
Muchas gracias...

Área de un paralelogramo: base x altura. Toma cualquier lado como base, por ej. el DC de la figura. Entonces la altura es la distancia entre los lados AB y DC, esto es, la distancia entre dos rectas paralelas.

Para hallar la distancia entre dos paralelas, tomamos un punto cualquiera de una de ellas y se calcula su distancia a la otra con la fórmula:

  Sea P(x_o , y_o) un punto y r: Ax+By+C=0 la recta
            
             |Ax_o + By_o + C|  
 d(P,r) = -----------------
                  √(A² + B²)

Es decir, en la recta en fª implícita se sustituye el punto y se divide el resultado entre √(A² + B²)  (el módulo del vector director de r). El valor absoluto es para evitar un negativo.

Tomamos la ecuación de lado DC:   x-2y+15=0  (hallada arriba). Y calculamos la distancia del vértice B(5,5) a ella:

             | 5*1 - 2*5 + 15 |     10         10*√5        10√5
 d(B,r) = ------------------ = ------ = ---------- = ------- = 2√5  uds  es la altura  (dist AB, DC)
                 √(1² + (-2)²)        √5        √5 * √5         5


La base es el módulo (longitud) del vector DC = C - D = (3,9) - (-1,7) = (4 , 2) , pero que ahora no podemos simplificar, pues queremos precisamente su longitud (simplificando, lo acortamos).

|DC| = √(4²+2²) = √20 uds = 2√5 uds es la longitud de la base.

Por último: Área(ABCD) = Base x Altura = 2√5 * 2√5 = 4*5 = 20 uds² de área.

¡Hale, venga!