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Me podriais ayudar con estes problemas de selectivo.

1. a) Estudia la posición relectiva de la recta r: (x,y,z) = (1,1,0) + t (1,2,1) y la recta s que pasa por los puntos P (0,2,1) y Q (1,1,1). Calcula la distancia de r a s.
b) Calcula la ecuación general del plano ß que es paralelo a la recta r y contiene  a la recta s.

2. a) Dado el plano π: (x,y,z) = (2,0,0) + λ(-1,1,1) + μ(1,0,1), calcula la ecuación de la recta r que pasa por el punto P (1,-2,1) y es perpendicular a Π. Calcula el punto de intersección de r y Π.
b) ¿Están alineados los puntos A (2,0,3), B (0,0,1) y C (2,1,5). Si no están alineados, calcula la distancia entre el plano que determinan estos tres puntos y el plano Π del apartado a

3) Sea r la recta que pasa por el punto P (1,-1,-2) y es perpendicuar al plano Π : x+2y+3z+6=0. Sea s la recta que pasa por los puntos A(1,0,0) y B (-1,-3,-4).
a) Estudia la posición relativa de las rectas r y s. Si se cortan, calcula el punto de corte.
b) Calcula a distancia del punto A(1,0,0) al plano β que pasa por el punto P (1,-1,-2) y es paralelo a Π.

Muchas gracias por vuestra ayuda, que siempre es buenísimaa

1. El vector que es paralelo a la recta r: r=(1,2,1)   (es el termino que esta multiplicado por t en la ecuacion de la recta).

El vector paralelo a la recta s: s=(1-0,1-2,1-1)= (1,-1,0).  (diferencia de los puntos Q y P)

Al realizar el producto cruz de estos dos vectores, obtenemos un vector perpendicular a la recta r y la recta s.  =>

u=r X s= (1,1,-3)    Con este vector es posible determinar el plano paralelo a la recta r y que contiene la recta s. Tambien nos permite determinar la distancia de la recta r, al plano.

El plano que contiene a la recta s: Hacemos el producto punto entre el vector u y un vector (x-0,2-y,z-1)  (Es un vector entre un punto generico del plano y un punto conocido, en este caso P)  =>  (1,1,-3) . (x-0,y-2,z-1) = 0  (Por ser estos dos vectores perpendiculares).  Finalmente: x+y-3z+1=0   Este es el plano que contiene a la recta s y es paralelo a la recta r.

Para hallar la distancia, seleccionamos un punto sobre la recta r conocido:   A=(1,1,0)  (aparece en la ecuacion de la recta r), y el otro punto lo seleccionamos que este sobre el plano, P(0,2,1) y formamos un triangulo rectangulo con una linea paralelo al vector u y que pasa por el punto A y cortaria al plano en un punto C => La magnitud AC seria la distancia que se debe determinar.

Hallamos el angulo del vector AP y el vector u:  AP . u  = (AP) u Cos θ

=>  (1,-1,-1).(1,1,-3) = √3 √11 Cos θ   =>  3=√3 √11 Cos θ   => Cos θ = 3/√33

La distancia de la recta al plano:  AC= AP Cos θ = (√3) (3/√33) = 3/√11 = 3 √11/11


2. a) Determinamos tres puntos del plano:  P(2,0,0)    Q(1,1,1)   R(3,0,1)   Haciendo λ=0, μ=0;  λ=1, μ=0; λ=0, μ=1 respectivamente.

Realizamos el producto cruz de los vectores QP X RP  = (1-2,1-0,1-0) X (3-2,0-0,1-0) =(-1,1,1)x(1,0,1) =(1,2,-1) siendo perpendicular al plano.

La ecuacion de la recta que pasa por P (1,-2,1) y es perpendicular a Π:  (x,y,z) = (1,-2,1) + t (1,2,-1)

Para hallar el punto de interseccion de la recta con el plano, solo es igualar las dos ecuaciones:

(1,-2,1) + t (1,2,-1) = (2,0,0) + λ(-1,1,1) + μ(1,0,1)   De aqui igualar componentes y obtenemos tres ecuaciones simultaneas con tres incognitas t,λ,μ.

b)Para saber si estan alineados los puntos A, B, C: hacemos producto cruz de los vectores AB Y AC si el resultado es cero, estan alineados:  (-2,0,-2) X (0,1,2) = (1,2,-1) ≠ 0 No estan alineados y por tanto generan un plano unico.

Ecuacion del plano:  ya tenemos el vector perpendicular al plano  (1,2,-1) y tenemos tres puntos del plano A, B, C

=> Seleccionando el punto B(0,0,1):     (1,2,-1) . (x-0,y-0,z-1) = 0   => x+2y-z+1=0 Ecuacion del plano que contiene a los punto A, B, C.

Para calcular la distancia entre este plano y el plano Π, seleccionar un punto del plano π  y aplicar el mismo procedimiento del numeral 1.


3. a) El vector perpendicular al plano esta dado por los coeficientes de x, y, z  n=(1,2,3)

La ecuacion de la recta que pasa por el punto P (1,-1,-2) y es perpendicular al plano π: (x,y,z) = (1,-1,-2) + t (1,2,3)

El vector paralelo a la recta s: AB=(-1-1,-3-0,-4-0)=(-2,-3,-4)  ó (2,3,4)  => La ecuacion de la recta s:

(x,y,z) = (1,0,0) + w (2,3,4)

Las rectas no son paralelas, se ve al comparar los terminos que acompañan a t y w en las dos ecuaciones; solo queda ver si se cortan, igualando las dos ecuaciones:

(1,-1,-2) + t (1,2,3)=(1,0,0) + w (2,3,4)  =>  (0,-1,-2) = (2w-t, 3w-2t, 4w-3t)   =>

2w-t=0
3w-2t=-1
4w-3t=-2

De la primera ecuacion: t=2w   Reemplazando en la segunda ecuacion: 3w-2(2w)=-1  => w= 1   y t= 2  Estos dos valores es consitente con la tercera ecuacion. Las rectas se cortan y el punto de interseccion es reemplazando el valor de t ó el valor de w en alguna de las ecuaciones: Con w=1     

(x,y,z) = (1,0,0) + (1) (2,3,4) = (3,3,4)  Punto de corte.

b) Si el plano β es paralelo al plano π, tienen el mismo vector normal n=(1,2,3)  => la ecuacion del plano que pasa por el punto P (1,-1,-2):  

(x-1,y+1,z+2).(1,2,3)=0   =>   x+2y+3z+7=0

Para hallar la distancia del punto A(1,0,0) al plano β utilizar el mismo procedimiento del numeral 1.

Saludos y espero quede entendible el procedimiento.  

- Hola, Tibesti.


La posición relativa (no relectiva, es la que tiene una en relación con la otra) se puede comprobar de muchas formas. Te propongo esta:

La r tiene vector director v=(1,2,1)  (los coeficientes que multiplican a t).
La s tiene la dirección del vector w = Q-P = (1,1,1) - (0,2,1) = (1,-1,0).  
                (Habría valido tbién el P-Q=(-1,1,0))

Evidentemente, r y s no son paralelas por no serlo sus vectores (uno no es proporcional al otro); con más precisión:

   1      2       1     
  --- ≠ --- ≠ ---       (componentes de v entre componentes de w, o al revés.)
   1     -1       0

Entonces, r y s no son ni paralelas ni coincidentes, pues ambos casos exigen vectores paralelos.

Por tanto, las dos rectas o se cruzan o serán secantes.
Si son secantes, un punto de una de ellas pertenecerá también a la otra:
   Pasamos  r a paramétricas: (x,y,z) = (1,1,0) +t (1,2,1)
         
             x = 1 + t
  r:         y = 1 + 2t
             z  = t

Y ahora la escribimos como un punto, la "comprimimos" :  r≡(1+t , 1+2t, t)  en este "punto" se concentra toda la recta.

Y le preguntamos a la recta s si admite ese "punto" de r:

     Primero formamos la ecuación completa de s, por ej. en fª continua, sabiendo que pasa por P(0,2,1) con vector w=(1,-1,0) :
           x       y-2     z-1
     s:  --- = ----- = ----     (uno de los pocos casos en que se permite dividir entre 0)
           1       -1        0

Recta s, ¿aceptas el punto (1+t , 1+2t, t)? Veamos, cada coordenada de ese "punto" es un valor de x, y ó z ; sustituyendo en orden:

            1+t     1+2t-2      t-1
            ---- = -------- = ----
              1          -1          0

Opero primero las dos fracciones que quiera:
  1+t       t-1
 ----- =  ---- =>  0 = t-1 => t = 1    
    1         0

Y ahora otras dos:
  1+2t-2      t-1
 -------- =  ----  => 0 = -t +1 => t = 1
     -1           0

Pero hay una tercera igualdad que debe coincidir con las otras:

            1+t     1+2t-2     
            ---- = -------- => -1-t = 2t-1 => 3t = 0 => t=0 . No coincide con los otros valores: La recta s rechaza el punto, luego r y
              1          -1       
s no tienen ningún punto en común sin ser paralelas, así que se cruzan en el espacio. (Algo así como dos carreteras que se cruzan a distinto nivel.)

Distancia de r a s:

Una forma de hallarla es mediante esta "compresión de rectas" en un solo punto. Hallamos el "vector" que forman esos dos "puntos", y concretamos el que sea perpendicular a ambas rectas. Su módulo será la distancia entre las dos rectas.

1) escribo r y s como sendos puntos:
     r≡ (1+t , 1+2t, t)
   y la s es:

           x       y-2     z-1
     s:  --- = ----- = ----  = k  (k: parámetro real; no puedo llamarlo también t).
           1       -1        0

Recta s en paramétricas:

    x
   --- = k => x=k
     1

  y-2
------ = k => y = 2-k
   -1

 z-1
------ = k => z-1=0 => z=1
   0

Entonces, como punto, es  s≡ (k, 2-k, 1)

2) Formamos el vector u que va del punto s al r  (o al revés):

   u = R - S = (1+t , 1+2t, t) - (k, 2-k, 1) = (1+t-k, 1+2t-2+k, t-1) =>  u = (1+t-k , -1+2t+k , t-1)

3) De todos esos vectores buscamos el que sea perpendicular tanto a r como a s. Primero buscamos que el vector director de r,  el v= (1, 2, 1) , sea perpendicular a u. El producto escalar debe ser nulo:

 v · u = 0 => (1+t-k , -1+2t+k , t-1) · (1, 2, 1) = (1+t-k )*1 + (-1+2t+k )*2 + (t-1)*1 = 0 =>

=> 1 + t - k - 2 + 4t + 2k + t - 1 = 0 => 6t + k = 2  (I)

Y el vector u debe ser también perpendicular a w= (1,-1,0) :

u · w = 0  => (1+t-k , -1+2t+k , t-1) · (1,-1,0) =  1+t-k + (-1+2t+k)(-1) + 0 = 0 =>
 => 1+t-k+1-2t-k=0 => -t -2k = -2 => t  + 2k = 2  (II)

Resolvemos el sistema de I y II, y obtenemos  t = 2/11 ; k = 10/11

Con esos valores vamos al vector u = (1+t-k , -1+2t+k , t-1) => u = (3/11 , 3/11 , -9/11)

Este vector es normal (perpendicular) a ambas rectas, formado a partir de dos puntos de ellas, y así es necesariamente el que conecta las dos rectas por el camino más corto. Su módulo debe ser la distancia (mínima) entre ambas:

 d(r,s) = |u| = √((3/11)² + (3/11)² + (-9/11)²) = √(9/11) = 3√11/11  uds = 0,905 uds es la distancia entre ambas rectas.

Mirando lo expuesto por Etxeberri, veo que cometi un error en el numeral 1. y es el de suponer de antemano que las rectas no son secantes sin verificarlo realmente.

Me parecio muy interesante el método para hallar la distancia, siempre se aprende algo nuevo.

Saludos.