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1. Una escalera de longitud L y peso 100 N se encuentra apoyada en una pared con rozamiento despreciable. Una persona de peso 600 N se encuentra a 3/4 · L de la base de la escalera. Calcula la fuerza ejercida por la pared y determina la fuerza ejercida por el piso sobre la escalera para que ésta permanezca en equilibrio estático.



2. La tabla uniforme de la figura pesa 200 N y se encuentra apoyada sobre dos soportes separados 2 m de distancia. Una persona de 600 N de peso camina sobre la tabla hacia el extremo A, ¿Cuál es la mínima distancia a la cual el hombre se puede acercar al extremo sin que la tabla se voltee?

- Hola, Marga:

Aunque no haya rozamiento con la pared, debe haberlo necesariamente con el suelo (si no, estaríamos hablando de la escalera asesina).

La pared reacciona con la horizontal normal R1.
P, peso de la escalera, se encuentra a L/2 a lo largo de esta.
R es la reacción normal del suelo.
R2 es la fuerza de rozamiento con el suelo que se opone al deslizamiento hacia atrás.

Para que no haya movimiento vertical: ∑F_y=0 => P1 + P = R
Para que no haya movimiento htal: ∑F_x=0 => R1 = R2
Tenemos las incógnitas R, R1, R2, así que necesitamos otra ecuación:

Como se cumple el equilibrio (ni desplazamiento ni giro), también la suma de momentos respecto de cualquier pto debe sumar 0:
∑M=0. Tomando momentos respecto del apoyo inferior:

R1*L sen53 = P1 * 3L/4 * cos 53 + P * L/2 cos 53 (igualo el momento de giro horario a la suma de antihorarios).
Simplificamos L :
R1 sen53 = (3/4 P1 + 1/2 P)*cos53 => R1 = (3/4*600 + 1/2*100)/tg53 => R1 = 376,78 N es la reacción de la pared sobre la escalera.

La reacción del piso sobre la escalera es R = P1 + P (de ∑F_y=0)
 R = 600+100 = 700 N, reacción del suelo contra la escalera.

Equilibrio de fuerzas: ∑F_y=0
Equilibrio de momentos: ∑M=0 mientras no gire. Para que se produzca el vuelco, deberá haber giro en torno a un apoyo. En ese caso, el hombre debe estar más allá del apoyo, cerca del borde. Entonces, la tabla pierde el otro apoyo y se produce el volteo.
Consideraremos que el vuelco es inminente, con lo que todavía ∑F_y=0, y así x, distancia pedida, tomará el valor extremo.




Sea P= peso de la tabla; P'= peso del hombre.
Mientras no haya vuelco, debe ser ∑F_y=0 respecto de cualquier punto. Tomando momentos respecto del apoyo:
P*1=P'*x  => x = P/P' = 200/600=1/3= 0,33 m. Como se pide distancia al extremo, y el voladizo mide 1m:
1-0,33= 0,67 m, distancia mínima al borde de la tabla para no voltear.


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A continuación, esta otra explicación me parece más completa (y complicada, es verdad). La potente simpleza de ∑F_y=0, momento total nulo si no hay giro, la hace  innecesaria. (No es necesaria ni siquiera ΣF_y=0).

                                                                                                                                                                                P·L  
La adjunto por si alguien quiere comprobar que da igual la forma de abordarlo. Resolviéndolo algebraicamente se llega siempre a x = ------
                                                                                                                                                                                2·P'
con P: peso total de la tabla;  P': peso del hombre (¡o mujer!); L: distancia entre apoyos (2 m); x: distancia al apoyo.


Equilibrio de fuerzas: ∑F_y=0
Equilibrio de momentos: ∑M=0 mientras no gire. Para que se produzca el vuelco, deberá girar en torno a un apoyo. En ese caso, el hombre debe estar más allá del apoyo, cerca del borde. Entonces, la tabla pierde el otro apoyo y queda dividida en dos secciones a ambos lados del apoyo, una más larga que tiende a impedir el giro, y la más corta, cuyo peso crea un momento que, junto al del hombre, sí favorece el vuelco.
(Peso del hombre: P rojo. Pesos de las dos secciones: P1, P2 azules).

En el instante inminente del volteo: Momento de la zona izda = Momento de la zona dcha  (ambos respecto del apoyo).
P1*1,5 = P*x + P2*0,5
Hay que calcular el valor de los pesos en el tablón. Como este tiene constitución uniforme, pesa lo mismo por cada metro lineal:

200 N
-------- = 50 N/m  ; cada metro pesa 50 N
  4 m

Luego P1= 3 m * 50 N/m = 150 N
        P2 = 200-150= 50 N   (ó 1m*50N/m)
        P = 600 N  hombre

Sustituyendo:  150*1,5 = 600x + 50*0,5 => 600x = 200 => x =2/6= 0,33 m desde el apoyo; como el voladizo mide 1 m, es:
1-0,33 = 0,67 m respecto del borde es la distancia mínima a la que puede acercarse al extremo sin llegar a volcar.

Venga.