Foros Ciencias Galilei

Buenos días:
Tengo un problema con la siguiente definición de producto escalar:
                  _∞
<v(t),w(t)>=∫v(t)w(t)^*dt
                 ^-∞

No entiendo por qué aparece el conjugado del último término, la definición de producto escalar que yo conocía hasta ahora era la siguiente:

<v(t),w(t)>=v(t)w(t)cos(α)

siendo α el ángulo que forman los 2 vectores.

No encuentro la relación entre esta expresión, que es la que entiendo con la anterior..

Gracias

Hola,

Ciertos conjuntos de funciones continuas forman espacios vectoriales.

En ellos hay que definir un producto escalar para poder definir cuando dos vectores (funciones) son independientes, definir su norma (módulo), etc.


Con estas definiciones es posible definir la norma de un vector como:

|f(t)|² = ∫f(t)² dt        parecido a como se hace con los vectores 'normales'

|a|² = a·a = a²

Además de lo que pone Galilei, también debes saber que puedes definir un producto punto de la forma que deseés, con tal que cumpla las siguientes condiciones:

Sean U y V conjuntos de un espacio vectorial A con cuerpo en un conjunto K  (R o C). El producto escalar de U y V, denotado por <U,V>:A×A→K, debe satisfacer que:

1-<U,U>≥0, donde la igualdad se cumple si U=0.

2.Sea W que pertenece a A. Entonces <aU+bW,V> = a<U,V>+b<W,V> y <U,aV+bW>=a<U,V>+b<U,W>
              _____
3.<U,V> = <V,U>  (complejo conjugado)

El producto escalar tal y como lo defines cumple estas tres propiedades y está definido en un espacio de Hilbert, el cual, es infinitodimensional.

Y dado que Galilei introduce el concepto de norma, también deberías saber que TODO producto escalar define una norma, por medio de la propiedad 1, a saber:



Y la norma, como tal, no tiene una única "forma" como en los vectores 3-dimensionales, sino que debe cumplir también la siguiente definición:

Sean x e y dos elementos de un espacio vectorial V definido en un cuerpo K. La norma de x, llxll:V×V→R, debe cumplir que:

1. llxll ≥ 0 y la igualdad se cumple SI Y SÓLO SI x=0.

2. Para todo k que pertenece a K: ll kx ll= ll k ll llxll.

3. llx+yll ≤ llxll + llyll.

Espero haber sido de ayuda.

Éxitos!!...

P.D. Y estas dos cosas definen una métrica, pero es harina de otro costal...

Muchas gracias por vuestras respuestas, y perdonar por las gracias tardías, pero estuve unos días incomunicado y luego tuve que ocuparme de otras materias que me corrían más prisa (malditos exámenes...) ahora retomaré todo esto, así que le pegaré un par de vueltas a lo que me comtásteis en cuanto descanse las neuronas un poco!

Bueno una curiosidad Jorge Cuantum, algo me dice que lo que estudias tiene mucho que ver con la física, es cierto?? si no es mucha indiscrepción... bueno la curiosidad me viene porque siempre he tendio mucha curiosidad por esas cosas aunque por miedo a las complicaciones matemáticas que tiene no me decidí a estudiar esa carrera.

Ehh sip..estudio Física..(o al menos trato)...hahaha...

Hola de nuevo:
Pues al final he pasado un día bastante entretenido... ya que no recordaba todos esos conceptos de norma, espacio euclídeo y para que hablar del espacio de Hilbert que nunca se había cruzado en mi camino antes...
Digamos que por lo que pude extraer en el día de hoy, cuando tenemos la aplicación de producto escalar el cual asocia un nº a varios vectores, hay 2 formas de definirlo:
-La que yo conocía cuya interpretación geométrica en dos dimensiones es el módulo de uno por el módulo de otro por el coseno del ángulo que forman y que para dos vectores a=(a1,a2,a3) y b=(b1,b2,b3) sería K(a,b)=a1xb1+a2xb2+a3xb3, siendo K un cuerpo real.
-Cuando tenemos un cuerpo complejo ya no se hace de la misma manera (ignoro por qué) y para los 2 vectores anteriores el resultado sería: K(a,b)=a1xb1*+a2xb2*+a3xb3*, siendo K un cuerpo complejo.

Lo que no se me ocurre ni he visto por ahí es una aplicación geométrica del segundo caso (cuerpo complejo) ni nada por el estilo, también me llama la atención la razón de todo ésto, por qué se hace distinto el de con cuerpo real del de cuerpo complejo, si sólo es para que cumpla las propiedades que me comentaba Jorge o hay alguna otra razón o demostración.

Por cierto Jorge tú comentarios te delataron! jajaja y sobre todo eso que tienes puesto de la creación de la luz, que también me gustaría entender pero me parece que por ahora me tengo que centrar en esto otro que pena no tener unas neuronas mucho más espabiladas!

Gracias por vuestros comentarios