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Hola , A ver que te parece este ejercicio:

Una pelota maciza de radio r rueda sin deslizar por un plano inclinado y sube a continuación por el interior del anillo de diámetro d segun la figura:



La altura inicial h es tal que la pelota llega al final del plano inclinado con la velocidad mínima para que llegue al punto P sin perder contacto. Sabiendo que el momento de inercia de una esfera es 2mr²/5 calcular la altura h.

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En un principio intenté considerar el momento angular j y de aqui dj/dt =N :
Utilizando el punto de contacto con el suelo por eso I = I +MR²
J= I w = ( I +MR²) V/R -----> dJ/dt= N--->( I +MR²) a/R = MgRsenθ
y de aqui despejariamos la aceleración pero creo que esto no llega a ninguna parte, asi que he intentado utilizar la ley de la conservación de energia :

Ei = Ef ---> mgh = mgd + mv²/2 +Iv²/2R² y de aqui despejar h = d+ 7/10 V²/g

pero tampoco estoy seguro si está bien planteado o no

Una tercera opción es que para que llegue al punto p , la velocidad debe ser P= Fc ---->
mg = mv²/R ----> V= (gR)½   y ahora utilizamos la ley de la conservación de energia:

mgh = mv²/2 + Iv²/2R²  y sustituimos esa velocidad que necesitamos para que llegue al punto p en la ecuación y el resultado obtenido es

h = R/2 + R²/5  un resultado la verdad muy rarito

Hola,

En P tiene que tener V para no perder contacto. Ahí las fuerzas cumplen:

∑Fc = N + P = m·a = m·V²/(R-r)            (centro de masas describe un círculo de radio: R-r)

La mínima velocidad para no perder contacto será cuando N = 0:

P = m·V²/(R-r)      =>    V² = P·(R-r)/m = g·(R-r)

La velocidad angular en ese punto P es V = ω·r   =>    ω = V/r

La energía cinética ahí es de traslación y rotación:

Ec(en P) = ½·m·V² + ½·I·ω² = ½·m·V² + ½·I·(V/r)² = ½·m·V² + ½·(2mr²/5)·V²/r² =

= ½·m·V² + m·V²/5 = (7/10)·m·V²

El I lo he tomado respecto del centro de masas. La V es la velocidad del mismo.

Falta añadir la energía potencial que sería h = R+(R - r) = 2R - r

Ep(en P) = m·g·h' = m·g·(2R - r)

La energía inicial sería potencial:

Ep(A) = m·g·(h + r)                  (centro de masas)

Igualando ambas (inicial y final):

m·g·(h + r) = (7/10)·m·V² + m·g·(2R - r)            sutituimos V² = g·(R-r)

m·g·(h + r) = (7/10)·m·g·(R-r) + m·g·(2R - r)

mgh = (27/10)mgR - (20/7)·mgr =  (27/10)mg(R-r)

h = (27/10)(R-r)

Hola,

Lo voy a hacer igual pero dejándolo en función de I:

½·m·V² + ½·I·V²/r² + m·g·(2R-r) = m·g·(h+r)

(V²/2)·(m + I/r²) + m·g·(2R-r) = m·g·(h+r)

(V²/2)·(m + I/r²) + 2·m·g·(R-r) = m·g·h

(m·V²/2)·(1 + I/mr²) + 2m·g·(R-r) = m·g·h

(V²/2)·(1 + I/mr²) + 2·g·(R-r) = g·h        Sustituimos V² = g(R-r)

(g·(R-r)/2)·(1 + I/mr²) + 2·g·(R-r) = g·h

h = ½(R-r)·(1 + I/mr²) + 2·(R-r)

Si fuese una polita puntual  =>  r = 0    e    I = 0

Entonces h valdría:

h = ½·R + 2·R =  (5/2)·R    que creo recordar es lo que tiene que dar para una partícula elemental.

perfecto, muy buena idea lo de comprobarlo para una particula puntual, es una idea genial, asi nos aseguramos de que no halla errores.

muchas gracias