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Buenas tardes

Una bola de billar, bola 1 de radio r y masa m, choca con otras dos bolas (bolas 2 y 3) unidas de radio R y masa M, inicialmente en reposo. Teniendo en cuenta que la bola 1 choca simultáneamente con las otras dos, determinar las velocidades, dirección y módulo, despues del choque, suponiendo que este choque es elástico


Adjunto remito un problema que no sé como resolver, espero alguien pueda ayudarme.

Un saludo

peinmar

Hola,

Al ser el choque elástico, se conserva la energía cinética y por ser un sistema aislado también lo hace la cantidad de movimiento:

Supongamos que la bola de radio r tiene una velocidad inicial v (después del choque es v'):

Energía:

½·m·v² = 2·½·M·V² + ½·m·v'²     =>    V² = m·(v²-v'²)/2·M

Conservación P:

Eje X:

Por la simetría del problema, la bola 1 no cambia de dirección, con sólo componente X:

m·v = m·v' + 2·M·V·cos α     =>     m·(v-v') = 2·M·V·cos α

Eje Y:

No sacamos nada en claro ya que las dos componentes 'y' de V son iguales:



Por el dibujo sabemos que sen α = R/(R+r)     =>   cos α = √(r²+2rR)/(r+R)

Tenemos que resolver dos ecuaciones con dos incónitas v' y V (en función de v)

V² = m·(v²-v'²)/2·M      =>    V² = m·(v-v')·(v+v')/2·M
m·(v-v') = 2·M·V·cos α   =>  (v-v') = 2·M·V·cos α/m    se sustitiye en la anterior:


V² = m·2·M·V·cos α·(v+v')/(2·M·m)    =>   (v+v') = V²·2·M·m/(m·2·M·V·cos α) = V/cos α

Ahora tenemos estas dos ecuaciones:

(v+v') =  V/cos α          [1*]
(v-v') = 2·M·V·cos α/m


(v+v') =  V/cos α  
(v-v') = 2·M·V·cos α/m
------------------------------ sumamos
2v = V/cos α + 2·M·V·cos α/m  = V·(1/cos α + 2M·cos α/m)  =>

           2v·m·cos α
V = ---------------------
       m + 2M·cos² α

Sustituyendo en [1*] sacas v'.

Repasar.

Completa tu perfil, por favor. Gracias por colaborar con respuestas.

ok muchas gracias por tu rápida respuesta.

Para v' tenemos:

v + v' =  V/cos α          [1*]

          2v·m·cos α
V = ---------------------   (resultado anterior)
      m + 2M·cos² α

Despejando de [1*]
                           2v·m                            m - 2M·cos² α
v' = V/cos α - v = ---------------- - v = v·(----------------)
                        m + 2M·cos² α                  m + 2M·cos² α

siendo  cos² α = (r²+2rR)/(r+R)²