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He aquí los problemas que no se resolver. Muchas gracias por adelantado.

1. La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta está dada por: a=-Kv², donde K es una constante. Si suponemos que inicialmente la velocidad es v₀ y su posición es x₀, encontrad la expresión de la velocidad y del desplazamiento en función del tiempo. Encontrar también v en función de x,v=v(x).

SOLUCIÓN:
v=v₀/(1+v₀kt)
x=x₀ + ln(1+kv₀t))/k

Hola,

a = dV/dt = -k·V²

dV/V² = -k·dt

∫dV/V² = -k·∫dt             (entre Vo y V la primera integral y entre 0 y t para la segunda)

       _V
[-1/V] = -k·t
      ^Vo

-1/V + 1/Vo = -k·t   (despejamos 1/V)

1/V = k·t + 1/Vo = (Vo·k·t + 1)/Vo        (hacemos inversos a ambos lados)

V = Vo/(Vo·k·t + 1)

V = dx/dt = Vo/(Vo·k·t + 1)

dx = Vo·dt/(Vo·k·t + 1)

x - xo = ∫Vo·dt/(Vo·k·t + 1) = (1/k)·∫Vo·k·dt/(Vo·k·t + 1) = (1/k)·Ln (Vo·k·t + 1)

x = xo + (1/k)·Ln (Vo·k·t + 1)

Para sacar V en función de x, hacemos:

x = xo + (1/k)·Ln (Vo·k·t + 1)     =>   Ln (Vo·k·t + 1) = (x-xo)·k    =>  

(Vo·k·t + 1) = e^(x-xo)·k

Sustituimos en la V:

V = Vo/(Vo·k·t + 1) = Vo/e^(x-xo)·k = Vo·e^-(x-xo)·k

El otro problema lo he pasado a dinámica que es donde corresponde: