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Buenos dias, Necesito que me ayuden con estos 3 ejercicios:

a) ∫dx/(x³+1)          b) ∫x³dx/√x-1         c) ∫dx/(8 - 4sex + 7cosx)


He resuelto a y c hasta cierto punto pues a partir de alli no tengo muy claro como avanzar:

a) ∫dx/x³+1 :              
                 aplico ruffini

                                  1  0  0  1

                             -1    -1  1 -1                      => (x+1) (x²-x+1)
                           −−−−−−−−−−−−−
                                 1 -1  1   0

  1
¯¯¯¯¯ =     A           +        Bx  +   C
x³+ 1    −−−−−−           −−−−−−−−−−−−
             (x+1)                 (x²-x+1)


1   =     A(x²-x-1)+ (Bx+C)(x+1)
−−        −−−−−−−−−−−−−−−−−−−
x³+1            (x+1)(x²-x-1)
  

Si X= -1

1=A( (-1)²-(-1)+1)+ (Bx+C)(0)
1=A(1+1+1)
A=1/3

Si X= 0

1=1/3 (0²-0+1)+(B(0)+C)(0+1)
1= 1/3 + C
C=1 - 1/3
C= 2/3

Si X= 1

1= 1/3(1²-1+1) + (B(1)+ 2/3)(1+1)
1=1/3+2B+ 4/3
2B= 1 - 5/3
B= -2/3/2/1
B= -2/6
B= -1/3

A=1/3 ; B= -1/3; C= 2/3


Aca es hasta donde llego y me confundo pues no se si la sustitucion seria:

∫dx/x³+1 = ∫1/3dx/x+1  + ∫-1/2dx/x²-x+1 + ∫2/3dx/x²-x+1


si pudiesen ayudarme para completar hasta llegar al resultado al cual intuyo seran 3 logaritmos naturales mas la constante jeje.

El 3er ejercicio lo empeze por la sustitución trigonométrica que se nos pedia y avanze de este modo:


∫dx/8-4sex + 7cosx

Haciendo u= tg(x/2)

∫dx/8-4sex + 7cosx= ∫2du/1+u²/8-4(2u/1+u²) + 7(1-u²/1+u²)

= ∫2du/1+u²/8-(8u/1+u²) + (7-7u²/1+u²)

=             ∫                 2du/1+u²
               −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
               8(1+u²)-(8u(1+u)+(7-7u²)/1+u²

=  ∫            2du/1+u²
       −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
       8+8u²-8u-8u²)+7-7u²)/1+u²


=   ∫       2du/1+u²
        −−−−−−−−−−−−
       -7u²-8u+15/1+u²

     ∫          2du(1+u²)
=        −−−−−−−−−−−−−−
        (-7u²-8u+15)(1+u²)


----Hasta aqui estoy completamente seguro de lo que estoy haciendo pero el paso siguiente me causa duda y es erroneo m gustaria saber cual es el planteamiento correcto y la resolucion del problema------



    ∫        2du(1+u²)                          A                            B
=         −−−−−−−−−−−−−−  =   ----------------    +  ----------------   Porque en una operacion de este modo al haber
        (-7u²-8u+15)(1+u²)           (-7u²-8u+15)               (1+u²)           un denominador igual a a+x² es arriba Bx+C
                                                                                                   pero no se si en este caso seria Ax+B y Cx+D

Hola,
              2du(1+u²)               - 2du
=   ∫   −−−−−−−−−−−−−−-- = ------------------ = **  (simplifica los '1+u²)
         (-7u²-8u+15)(1+u²)       7u²+8u-15


7u²+8u-15 = (u - 1)(7u+15)

            A                 B
** = ---------- + -----------
         (u - 1)        (7u+15)


   - 2                 A                 B
------------ = --------- + -----------
7u²+8u-15        (u - 1)        (7u+15)


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