Foros Ciencias Galilei

Hola de nuevo! ,ultimamente me han vuelto a surgir problemas de espacio afin y estoy...  ....

1.- Entre todos los puntos que tienen la misma distancia a los puntos T1 (3,4,1) y T2 (-1,0,5), Encuentra todos aquellos que son mas cercanos al punto T3 (6,5,-4).

2.- Expresa el radio vector de la proyeccion ortogonal S' y la proyeccion del punto S'' de un punto S dado acuerdo con el plano ∑ en terminos de vector normal conocido n  y un radio vector  r_o  del punto T_o en ∑

3.- Encuentra la imagen de la linea p: 2x + y - z =1 ; x - 2z = 3  en el plano Q: 3x + y + z = 2.

Los ejercicios son traducidos del ingles , asi que es probable que en alguno no me haya expresado bien
Muchisimas  gracias de antemano!!

Hola,

Los puntos que equidistan de dos dados son los que pertenecen al plano que pasa por el punto medio y es perpendicular al vector (T1T2) Plano mediatriz. Para calcularlo hay que saber el punto medio:

OM = (OT1 + OT2)/2 = [(3,4,1) + (-1,0,5)] /2 = (1 , 2 , 3)

El plano mediatriz tiene que ser perpendicular al segmento T1 - T2, por lo tanto este vector es el normal del plano. Sacamos el vector:

T1T2 = OT2 - OT1 = (-1,0,5) - (3,4,1) = (-4, -4, 4) // (1, 1, -1) Lo cambiamos por este que indica la misma dirección (es antiparalelo).

El plano buscado tiene la forma:

x + y - z + D = 0

pero como pasa por M, D = 0

x + y - z = 0

El punto más cercano a T3 es la proyección de T3 sobre el plano. Calculamos la recta que pasa por T3 y es perpendicular al plano (el vector normal del plano es el director de la recta)

x = 6 + t
y = 5 + t
z = -4 - t

Calculamos dónde esta recta corta al plano (proyección de T3). Sustituimos los puntos de la recta en el plano:

6 + t + 5 + t - (-4 -t) = 0

15 + 3t = 0 => t = -5

El punto buscado es el:

x = 6 - 5 = 1
y = 5 - 5 = 0
z = -4 + 5 = 1

Solución: (1, 0, 1)

Pasamos la recta a paramétrica:

2x + y - z = 1
x - 2z = 3

A z lo hacemos t:

z = t
x = 3 + 2t
y = 1 - 2x + z = 1 - 6 - 4t + t = -5 - 3t

x = 3 + 2t
y = -5 - 3t
z = t

Ahora calculamos el plano que contiene a esta recta y es perpendicular al plano Q. Para ello conocemos un punto (3, -5, 0) y dos vectores paralelos, el de la recta (2, -3, 0) y el del plano Q (3, 1, 1).

-3·(x-3) - 2·(y+5) + 11z = 0

-3x - 2y + 11z -1 = 0

Este plano, junto con el dado Q, define una recta que es la buscada:

3x + 2y - 11z  = -1
3x + y + z = 2

Muchas gracias , vaya! tienen mas complicacion que la idea inicial que habia intentado...

Creo que el 2º esta regular traducido , pero es q los tecnicismos en ingles como.. "Express radius vectors." si quieres puedo ponerlo en ingles que seguramente lo entiendas mejor...

Sí, ponlo en inglishhhh porque no entiendo lo que quiere que calcule. Seguro que hay alguién por aquí que nos echará una mano en la traducción.

Lo primero es normalizar el vector del plano (hacerlo unitario), esto es: n/|n| lo llamaremos n_u

La distancia del punto S al plano ∑ viene dada por (· es el producto escalar):

d = STo·n_u = (ro - rs)·n_u  (esto es un escalar, número)

Di d > 0 estará indicando que ambos vectores (ro - rs) y n_u tienen el mismo sentido, si es negativa es que tienen sentido opuesto.

El vector que va desde S al plano, perpendicular a él y que señala al punto S' buscado será:

SS' = rs' - rs = d·n_u

Luego OS' (rs') es:

OS' = rs' = OS + d·n_u = rs + d·n_u

Por lo tanto, el simétrico S'' vendrá dado por el vector OS'' (rs''):

OS'' = (rs'') =  rs + 2·d·n_u

Puff , los ejercicios de teoria me matan!  Quien me diria a mi que la programacion grafica iba a requerir saber tanta geometria ! jejeje , Muchas gracias!