Foros Ciencias Galilei

hola: tengo que probar las siguientes igualdades y no tengo ni idea de como hacerlo! si alguien me lo puede explicar se lo voy a  agradecer mucho.

a) A∩( B∆ C)≔ (A∩B) ∆ (A∩C)
B) A−( B− C)≔ (A−B) U (A∩C)
C)A−(A∆B)≔ (A∩B)
D) (A∩C)−B≔(A−B)∩C
E) A∩C≔ ∅=>A∩( B∆ C)≔(A∩B)

asignale a cada conjunto, elementos, para asi poder probar si la igualdad se cumple, coje a A=(a,b,c,d,g,h), B=(b,c,f,i,j,k), C=(c,d,e,i,l) y un conjunto universal
U=(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,).

tomo tu primer ejercicio como ejemplo

a) A∩( B∆ C)≔ (A∩B) ∆ (A∩C)=(a,b,c,d,g,h)∩((b,c,f,i,j,k)∆ (c,d,e,i,l))≔ ((a,b,c,d,g,h)∩(b,c,f,i,j,k)) ∆ ((a,b,c,d,g,h)∩(c,d,e,i,l))

resuelvelo y miras si cumple la igualdad

hola si esa forma me imagine que se podia hacer pero le pregunte a los docentes que dan la materia y me contestaron que se debe resolver con propiedades de conjuntos

He cambiado ∆  por  U  (unión, mas usual)

Hay que probar que si   x∈A∩( B U C)  =>   x∈(A∩B) U (A∩C)
y que si                 x∈(A∩B) U (A∩C)  =>   x∈A∩( B U C)


Empecemos por el primer caso:

Si    x∈A∩( B U C)    =>    x∈A  y  (x∈B o x∈C)

Si x∈B  entonces x∈A∩B   =>   x pertenece a la unión de A∩B  con cualquier conjunto =>  x∈(A∩B)U(A∩C)

Razonamiento análogo si   x∈C (en vez de a B)

En el otro sentido:

Si   x∈(A∩B) U (A∩C)   =>    x∈(A∩B) o  x∈ (A∩C)

Si x∈(A∩B)    =>    x∈A y  x∈B   =>   x∈A y  x∈BUC    =>   x∈A∩(BUC)

Razonamiento análogo para el caso de que   x∈ (A∩C)

hola gracias pero me parece que no se puede cambiar ∆ este por U ya que este simbolo ∆ es una diferencia simetrica
a∆b= (aUb)-( a∩b) a esta la entiendo y la se aplicar pero como ahora la tengo de esta forma no se aplicarla a∩(b∆c)=( a∩b) ∆(aUc)

Hola,

Pues perdona, no conocía ese operador. Lo intentaré hacer con él.

no esta bien yo tampoco lo conocia!!  yo lo busque por internet!! JEJE pero no se como aplicarlo en este caso

Teniendo en cuenta que  A∆B = AUB - A∩B

podemos hacer:

a) A∩( B ∆ C)≔ (A∩B) ∆ (A∩C) = (A∩B)U(A∩C) - (A∩B)∩(A∩C) = (A∩B)U(A∩C) - (A∩B∩C)


Si x ∈ A ∩ (B ∆ C)   =>    x ∈ A   y  (x ∈ B  o  x ∈ C  y  x ∉ B∩C)   =>   (x ∈ A∩B    o    x ∈ A∩C)   y   x ∉ A∩B∩C   por no pertenecer a B∩C    

=>    x ∈ (A∩B)U(A∩C) - (A∩B∩C)

Si x ∈ (A∩B)U(A∩C) - (A∩B∩C)    =>  (x ∈ A   y    x ∈ B)  o  (x ∈ A   y   x ∈ C)   y  x ∉ A∩B∩C  

=>     x ∈ A    y    (x ∈ B     o     x ∈ C)   y  x ∉ A∩B∩C   =>

   x ∈ AUB   y x ∈  AUC    y    x ∉ A∩B∩C   =>  

   x ∈ A   y x ∈  BUC    y    x ∉ B∩C   =>     A∩( B ∆ C)


Creo que es así. Revísalo.