Foros Ciencias Galilei

Hola gente me encuentro con problemas para demostrar la siguiente propiedad. aqui va.



desde ya, muchas gracias...

Tenemos que:



Desarrollando la suma, el numerador toma la forma:

n!(k-1)!(n-k+1)!+n!·k!·(n-k)!=n![(k-1)!(k-1)!(n-k+1)!+k!·(n-k)!]

Teniendo en cuenta que k!=k(k-1)!

=n![(k-1)!(k-1)!(n-k+1)!+k(k-1)!(n-k)!]=n!·(k-1)![(k-1)!(n-k+1)!+k·(n-k)!]

Pero (n-k+1)!=(n-k+1)(n-k)! , entonces:

=n!(k-1)!(n-k)![n-k+1+k]=n!(k-1)!(n-k)![n+1]

El denominador de la fracción es:

k!·(n-k)!(k-1)!(n-k+1)!

Luego, la fracción completa se escribe como:

n!(k-1)!(n-k)![n+1]          (n+1)n!             (n+1)!
--------------------- = ------------- = -------------
k!·(n-k)!(k-1)!(n-k+1)!     k!·(n+1-k)!       k!·(n+1-k)!

Dado que (n+1)n!= (n+1)!.

Lo cual comprueba la identidad por definición del Coeficiente Binomial...