Foros Ciencias Galilei

Me piden hallar el resultado de lo siguiente: (cuando ponga "N" significa numero de elementos de..):

N(A1 U A2 U A3... U An), sabiendo que Ai son conjuntos finitos..

Ademas me dan ejemplos:
∩ = interseccion

N(A1 U A2)= N(A1)+N(A2)-N(A1 ∩ A2)

N(A1 U A2 U A3)= N(A1)+N(A2)+N(A3)-N(A1 ∩ A2)-N(A1 ∩ A3)-N(A2 ∩ A3) + N(A1 ∩ A2 ∩ A3)

Entonces en sumatoria, para n elementos,cuanto es???  

Esto tienes que leerlo con mucho detenimiento, no es fácil.

Sabemos que:

N(A1 U A2) = N(A1) + N(A2) - N(A1 ∩ A2)

Si llamando a (A2 U A3) = X entonces:

N(A1 U A2 U A3) = N(A1 U X) = N(A1) + N(X) - N(A1 ∩ X) = ---- →

Sabemos que:

(A1 ∩ X) = A1 ∩ (A2 U A3) = (A1 ∩ A2) U (A1 ∩ A3)

→ ---- = N(A1) + N(X) - N[(A1 ∩ A2) U (A1 ∩ A3)] = N(A1) + N(A2 U A3) - N[(A1 ∩ A2) U (A1 ∩ A3)] = --- →

Aplicamos la propiedad inicial a N(X) = N(A2 U A3) , queda:

--- → = N(A1) + N(A2) + N(A3) - N(A2 ∩ A3) - N[(A1 ∩ A2) U (A1 ∩ A3)] = --- →

Aplicamos la propiedad inicial a N[(A1 ∩ A2) U (A1 ∩ A3)]  , queda:

---- → = N(A1) + N(A2) + N(A3) - N(A2 ∩ A3) - N[(A1 ∩ A2) U (A1 ∩ A3)] =

= N(A1) + N(A2) + N(A3) - N(A2 ∩ A3) - [N[(A1 ∩ A2) + N(A1 ∩ A3) - N((A1 ∩ A2) ∩ (A1 ∩ A3))] = --- →

Como N((A1 ∩ A2) ∩ (A1 ∩ A3)) = N(A1 ∩ A2 ∩ A3), queda:

--- = N(A1) + N(A2) + N(A3) - N(A2 ∩ A3) - [N(A1 ∩ A2) + N(A1 ∩ A3) - N(A1 ∩ A2 ∩ A3)] =

= N(A1) + N(A2) + N(A3) - N(A1 ∩ A2) - N(A1 ∩ A3) - N(A2 ∩ A3) + N(A1 ∩ A2 ∩ A3)]

Haciendo un razonamiento análogo para n > 3, nos quedaría:

N(∑Ai) = ∑N(Ai) - ∑N(Ai ∩ Aj) + ∑N(Ai ∩ Aj ∩ Ak) - ∑N(Ai ∩ Aj ∩ Ak ∩ Af) + ∑N(Ai ∩ Aj ∩ Ak ∩ Af ∩ Az) - ...

a condición que i, j , k , f , z, ... esten comprendidos entre 1 y n
y que i > j > k > f > z > ...

Por ejemplo, para n=4, el término tercero sería  

∑N(Ai ∩ Aj ∩ Ak) para n=4 sería N(A4 ∩ A3 ∩ A2) + N(A4 ∩ A3 ∩ A1) + N(A4 ∩ A2 ∩ A1) + N(A3 ∩ A2 ∩ A1)

Igual para los demás sumandos.

Puede que esta expresión se pueda escribir de una forma más compacta pero sería más difícil de imterpretar. A ver si te vale así. Imprímelo y estúdialo sobre el papel, es más cómodo.

Todo empezó con

N(A1 U A2) = N(A1) + N(A2) - N(A1 ∩ A2)

Para probar esto tenemos en cuenta que si dos conjuntos son disjuntos (A∩B = ø y N(A∩B)=0) entonces:

N(A U B) = N(A) + N(B)

Llamémosle a la parte del conjunto A2 que no pertenece a A1 de la forma A2-A1.

Los conjuntos A1 y (A2-A1) son disjuntos, por lo tanto:

N[(A1 U (A2-A1)]= N(A1) + N(A2-A1)

pero,

N(A2-A1) = N(A2) - N(A1∩A2)

luego:

N(A1 U A2) = N[(A1 U (A2-A1)]= N(A1) + N(A2-A1) = N(A1) + N(A2) - N(A1 ∩ A2)

Me he quedado intrigado con el final de este ejercicio.

Yo creo que en sumatorio y para n elementos es n.  Pero me gustaria saber si acierto o me estoy columpiando olimpicamente.

Hola Baloo, no entiendo lo que quieres decir.

Hola Galilei:

Entiendo que cuando habla del sumatorio de n se refiere a la union de n elementos en los que el primero es An y tiene como elementos  a los numeros 1, 2, 3....n, ; el elemento A(n-1) cuyos elementos son 1, 2, ....,n-1 etc.

No se, si no es esto tampoco tengo demasiado claro el enunciado del problema.

Esto se refiere a lo siguiente:

El 40% de los españoles lee "El País" (A₁), un 30% "El Mundo" (A₂) y un 15% ambos (A₁∩A₂) .

¿Cuántos leen ambos periodicos? N(A₁∪A₂)

En este caso me piden el número de elementos de dos conjuntos y n = 2

La pregunta hacía referencia a cómo se resuelve el problema cuando me dan los porcentajes de n (en general) periódicos.

En el caso de dos sería:

N(A₁∪A₂) = N(A₁) + N(A₂) - N(A₁∩A₂) = 40 + 30 - 15 = 55 % leerían ambos

Hay que restarle una vez la intersección porque está sumada (contada)  dos veces: en A₁ y A₂

Sólo El País lo leerían 40 - 15 = 25 %
Solo El Mundo 30 - 15 = 15 %
Ambos 15 %
Ninguno 100 - 55 = 45 %

Cuando son tres conjuntos la cosa se complica un poco, y si son más, bastante.

Se suponen que me dan el número de elementos de cada conjunto N(A_i) y piden el de la unión de todos ellos (N(∪A_i)). Hay que tener en cuenta que algunos elementos pueden pertenecer a más de un conjunto.