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Buenas.

Necesito que me den una mano en estos ejercicios. Si pueden explíquenme de una forma sencilla estos ejercicios :)

1 - Con los jugadores de un club de fútbol se forman dos equipos para jugar un partido de entrenamiento; entre los dos equipos se reúnen 6 defensas, 8 medios, 6 delanteros y 2 porteros.

El entrenador sabe que en estos partidos, la probabilidad de que se lesione un jugador es 0.22 si es delantero, 0.11 si es medio, 0.055 si es defensa y 0 si es portero.

Calcular la probabilidad de que se lesione uno cualquiera de los jugadores en este partido.

Si se sabe que un jugador se ha lesionado, determinar la probabilidad de que haya sido un defensa.

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2- Los alumnos de Primero de Biología tienen que realizar dos pruebas, una teórica y otra práctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte teórica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte práctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5.

¿Son independientes los sucesos aprobar la parte teórica y la parte práctica?

¿Cuál es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos exámenes?

¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos exámenes?

Se sabe que un alumno aprobó la teoría. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe también la práctica?

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3- En una ciudad, el 35% vota al partido A, el 45% vota al partido B y el resto se abstiene. Se sabe además que el 20% de los votantes de A, el 30% de los de B y el 15% de los que se abstienen, son mayores de 60 años. Se pide:

Hallar la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar sea mayor de 60 años.

Hallar la probabilidad de que un ciudadano mayor de 60 años se haya abstenido.

Salu2

- Hola, Manuel:


Tienes que dibujar el árbol de dependencias y completar los datos "en orden cronológico": Escogiendo un jugador al azar, primero se trata de un tipo (defensa, medio...) y luego interesa si se lesiona o no.

Hay 6+8+6+2 = 22 jugadores en total.
Las probabilidades de que, escogiendo uno al azar sea:

    Defensa:   p(Df) = 6/22
    Medio:      p(M) =  8/22
    Delantero: p(D) =  6/22  
    Portero:    p(P)  =  2/22

Y luego, cada uno de ellos tiene una probabilidad distinta de lesionarse. Si el defensa tiene una prob de sufrir lesión de 0,055, la de no sufrirla es 1-0,055 = 0,945. Y llevamos todos estos valores al árbol:
Siendo L el suceso "lesionarse" y L no hacerlo.

Calcular la probabilidad de que se lesione uno cualquiera de los jugadores en este partido: Nos fijamos en todas las ramas que lleven a una L. Valores en prolongación se multiplican; ramas distintas se suman:

  p(L) = 6/22 * 0,055 + 8/22 * 0,11 + 6/22 * 0,22 + 2/22 * 0 => p(L) = 0,115

Ahora bien, esto es una aplicación del teorema de la probabilidad total. En rigor:

  p(L) = P(L|Df) * p(Df) + P(L|M ) * p(M) + p(L|D) * p(D) + p(L|P) * p(P)  que es exactamente lo hallado por el árbol, con pequeños cambios de orden. Por ej:

   P(L|Df) * p(Df) = 0,055 * 6/22 , esto es, prob de lesionarse condicionada a tratarse de un defensa, por la prob de que sea defensa el sujeto.

[Se podría incluso sacar los valores por el árbol y luego escribir encima del cálculo la fórmula que se supone hemos aplicado].



Se pide   p(Df | L), que es una probabilidad condicionada (prob de que haya sido un defensa sabiendo que hay un lesionado) .
                                         
                                                                        p(A ∩ B)
  Toda prob condicionada sigue la fórmula   p(A|B) = -----------      así que en este caso es:
                                                                           P(B)                 

                p(Df ∩ L)
 p(Df|L) = -----------   es la fórmula de Bayes
                   p(L)

                         En ella, p(L) = 0,115 es el valor hallado antes:  probabilidad de lesión sin condiciones.

y p(Df ∩ L) = 6/22 * 0,055 = 0,015 es la rama que reúne esos sucesos [con más rigor: p(Df ∩ L) = p(Df) * p(L|Df) = 6/22 * 0,055]

Luego p(Df|L) = 0,015 / 0,115 = 0,1304, prob de que el lesionado sea defensa.

 tenemos  P(T)=0,6 , p(P)=0,8 , p(T∩P)=0,5

Dos sucesos T y P son independientes si ocurre que  p(T∩P) = p(T) * p(P)

    p(T) * p(P) = 0,6 * 0,8 = 0,48 ≠ P(T∩P) , luego los sucesos T y P no son independientes. T y P son sucesos dependientes.


En lenguaje formal:
    
    p(T ∩ P)  , prob de "no aprobar el teórico y, además, no aprobar el práctico"

   p(T ∩ P) = p (T U P) = 1 - p(T U P)   (aplicación de ley de De Morgan y de la prob complementaria).

  A su vez:  p(T U P) = p(T) + p(P) - p(T ∩ P) = 0,6 + 0,8 - 0,5 = 0,9

 Por tanto, p(T ∩ P) = p (T U P) = 1 - p(T U P) = 1 - 0,9 = 0,1 es la prob de no aprobar ninguno.



p [ (T ∩ P) U (T ∩ P) ] : prob de aprobar el T pero no el P, o bien no el T pero sí el P:

p (T ∩ P) + p (T ∩ P) - p [ (T ∩ P) ∩ (T ∩ P) ]
  El valor tachado vale cero, pues no es posible aprobar T y no P a la vez que suspender P y aprobar T: son incompatibles.

p (T ∩ P) + p (T ∩ P) = p(T) - p(T ∩ P) + p(P) - p (T ∩ P) = 0,6 - 0,5 + 0,8 - 0,5 = 0,4 aprobar solo uno.




p(P | T) = p(P ∩ T) / p(T) = 0,5 / 0,6 = 0,833

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Nota: Se han aplicado las fórmulas elementales de probabilidad de sucesos. Por exrañas que te parezcan, te animo a que tomes tu libro o apuntes y compruebes que lo tienes todo ahí. Pregunta si tienes dudas.

Venga.

Aquí va el 3º


Sacamos el árbol en orden "cronológico". Primero, de un sujeto al azar tomamos probabilidades de votar a un partido u otro, y luego, de que sea mayor de 60 o menor según haya votado. Estas últimas probabilidades, todo lo indica, son condicionadas respecto del voto:

Escogiendo un ciudadano al azar, definimos los sucesos  A:"Votar A", B:"Votar B", C:"Abstenerse", M:"Mayor de 60" , M:"60 ó menor".

La probabilidad de abstención es, obviamente,  p(C)= 1-0,35-0,45 = 0,2. Además, p(M) = 1- p(M)

[Cada una de las M realmente supone una probabilidad condicionada; así, el valor 0,3 corresponde a la probabilidad de M si se vota B, es decir: p(M|B)].

Se pide p(M) , luego tomamos todos los caminos que lleven a M. Pero hagámoslo ahora anticipando la fórmula de la probabilidad total:

p(M) = p(M|A) * p(A) + p(M|B) * p(B) + p(M|C) * p(C) = 0,2*0,35 + 0,3*0,45 + 0,15*0,2 => p(M) = 0,235 es la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar sea mayor de 60 años.

El árbol nos ayuda a ordenar los datos y nos da la regla: Tomar todas las ramas que lleven a M. Valores en prolongación se multiplican; ramas "paralelas" se suman: p(M) = 0,35*0,2+0,45*0,3+0,2*0,15 = 0,235.





Dicho de otra forma: Hallar la prob de que se haya abstenido si es mayor de 60 (tenemos un "if" condicional   ):

             P(C ∩ M)
p(C|M) = ----------   Vamos a desarrollarla un poco:
                P(M)

             P(C ∩ M)                          P(M|C) * P(C)
p(C|M) = ----------  = ------------------------------------------------ , que es la fórmula de Bayes.
                P(M)          p(M|A) * p(A) + p(M|B) * p(B) + p(M|C) * p(C)

Vista así, la flª de Bayes impone un poco. Pero el arbolito nos dice ¿P(C ∩ M)?: Multiplica esos dos valores que están en prolongación: 0,2*0,15 = 0,03
¿P(M)? Ya se calculó antes: 0,235 , pero sabemos que sería multiplicando los contiguos y sumando ramas.

Luego  
             P(C ∩ M)
p(C|M) = ---------- = 0,03 / 0,235 = 0,1277
                P(M)

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Nota: Aunque no se han usado para nada, el árbol recoge las probabilidades de M. Se puede evitar lo que no se vaya a usar, pero mejor ponerlo para comprobar que todo "manojo" de ramas suma 1.

Venga.

Creo que hay un error de letras:



Según tu planteamiento

C:"Abstenerse",

Entonces

Sería p(C|M) y no p(A|M).

Cierto, Marlon, gracias.
Ya está corregido.