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Hola, espero que me puedan ayudar con el siguiente problema,
Supóngase que una variable aleatoria X tiene la densidad f(x)=1 para 0<x<1 y cero para los otros valores de x. Determine c de  manera que se tenga una probabilidad de 90% de que una muestra de tres valores de X observados contengan al menos un valor mayor que c.

Hola, Guadalupega. A ver si te puedo ayudar:

El problema tiene dos partes: Primero hallamos la probabilidad de que al elegir un valor entre 0 y 1, superemos un valor c, con distribución uniforme.
Después hallamos la probabilidad de que, de tres ocasiones, en más de una ocurra lo anterior: es una ditribución binomial.


I) Probabilidad de que, en una ocasión cualquiera, al elegir al azar un valor entre 0 y 1 superemos un valor c, con distribución uniforme.

[Piensa en este ejemplo: si un bus tarda entre 0 y 5 min en llegar, ¿probabilidad de que llegando yo en cualquier momento a la parada tenga que esperar más de 3 min? Es idéntico.]
                              
                 1  si  0 < x < 1   
               /  
X ~ f(x) =                                             Entonces p(x > c) = ∫_c¹ f(x) dx = (1-c)*1 = 1-c (área marcada):
               \                                      
                  0  si x ≤ 0 ó x ≥ 1

p= 1-c es la probabilidad de que una observación al azar arroje un valor mayor que c, para la función de densidad dada.

II) Probabilidad de que en tres valores de X observados, se muestre al menos un valor mayor que c:  distrib. binomial Y ~ B (n , p)
Con n=3, p=1-c => Y ~ B (3 , 1-c)  (con q=1-p=c)

Se pide prob de que de tres ocasiones, en más de cero ocurra lo detallado en I, con la binomial descrita:

p(x>0) = 1 - p(x=0) = 1 - [(³₀) p⁰ (1-p)³] = 1 - (1 * 1 * c³) = 1 - c³

Y esta probabilidad debe ser de 0,9 , luego: 1 - c³ = 0,9 => c = ³√1-0,9 => c = 0,46   (0<c<1)
[Prob de que, de tres ocasiones, en alguna deba esperar más de 3 min].

¡Hale, venga!