Foros Ciencias Galilei

Buenas gente necesito una ayuda con estos ejercicios de Geometria Analitica que tengo parcial el lunes y no los puedo resolver:
1.- Dada la circunferencia de ecuación x² + y² + 4x – 8y – 30 = 0, determine la posición relativa de los siguientes puntos con respecto a la circunferencia: (4,7); (-9,3); (-2,-3); (-8,8); (-6,-2); (5,5)

2.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por (-1,0) y es concéntrica con aquella de ecuación x² + y² – 4x + 8y – 1 = 0. Respuesta: ( x – 2)² + (y + 4)² = 25

He hecho una gran parte de la guía de ejercicios de la catedra, pero esos son algunos de los ejercicios que no lo puedo hacer, disculpen si son muchos pero al conocer como resolverlos podre resolver los demás, pues que los demás ejercicios son similares.

- Hola, Juanlaginia



Basta sustituir cada punto en la ecuación de la circunferencia igualada a cero, lo cual es el cálculo de la potencia P de un punto respecto de una circunferencia.

Si P>0, el pto es exterior a la circunfa.
Si P=0, el pto está en la circunfa.
Si P<0, el pto es interior a la circunfa.

Potencia de (4,7) respecto de x² + y² + 4x – 8y – 30 = 0 :
  4² + 7² + 4*4 - 8*7 - 30 = -5 < 0 => el pto (4,7) es interior a la circunfa.

(-9,3);  (-9)² + 3² + 4*(-9) - 8*3 - 30 = 0 => el pto está sobre la circunfa.

(-2,-3);  (-2)² + (-3)² + 4*(-2) - 8*(-3) - 30 = -1, el pto es interior.

(-8 ,8);   (-8)² + 8² + 4*(-8)  - 8*8 - 30 = 2, exterior.

(-6,-2);   (-6)² + (-2)² + 4*(-6)  - 8*(-2) - 30 = 2, exterior

(5,5);  5² +  5² + 4*5  -8*5  - 30 = 0, el pto pertenece a la circunfa.

Necesitamos el centro de la circunferencia conocida, pues lo compartirá con la pedida.

Si tenemos la ecuación cartesiana (x-a)² + (y-b)² = r² , el centro es (a,b).
A ver qué te parece esta forma:

Parto de x² + y² – 4x + 8y – 1 = 0
Tomo los dos términos en x:   x² - 4x  e intento adaptarlo a un binomio cuadrático, que debe ser (x-2)²; ahora bien, este binomio me introduce el cuadrado de 2 que no tengo. Muy bien, deber ser entonces:
  (x-2)² - 4   ; (desarrollando esto obtengo  x²-4x)

Hago lo mismo con y² + 8y = (y+4)² - 16

Conjunto todo: (x-2)² - 4 + (y+4)² - 16 -1 = 0
Y llevo los términos independientes a la dcha:

(x-2)² + (y+4)² = 4+16+1 => (x-2)² + (y+4)² = 21
La circunfa dada tiene centro (2,-4) y radio √21

Como la pedida tiene centro (2,-4) pero aún desconozco el radio, puedo ir armando la ecuación:

(x-2)² + (y+4)² = r²  , que son las infinitas circunfas de centro (-2,4)

De todas ellas queremos la que pasa por el pto (-1,0). La ecuación debe responder por este punto suyo:
   (-1-2)² + (0+4)² = r²  =>
=> 9 + 16 = r² => r² = 25; luego el radio de la circunfa pedida es √25 = 5.

La ecuación pedida es (x-2)² + (y+4)² = 25

Venga.