Foros Ciencias Galilei

1.- Una herencia de $35.350.350 se reparte entre 7 personas, de modo que las cantidades estan en Progresion Aritmetica. ¿Cuanto corresponde a la mayor cantidad que recibe una persona y cuanto a la menor, si hay una diferencia de $1.800.000 entre dichas cantidades?.

2.- Si en una Programacion Aritmetica el ultimo termino es 9, la diferencia es 3 y la suma de todos los terminos de la progresion es -66, calcular el numero de terminos de la progresion , y cual es el primer termino.

3.- Me piden calcular cuantos numeros enteros consecutivos se deben sumar a partir de 25 para que su suma sea igual a 29103.

4.- La suma de tres numeros en progresion aritmetica es 21 y el producto del primero y el tercero es 33, encontrar estos numeros...

Gracias.

Hola.

Vamos a buscar las ecuaciones que nos harán falta para le resolución de los problemas:

Término general:

a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a1 +2d
...................
an = a1 + (n-1)d

Suma de n términos:

S = a1 + a2 + ... + an
S = an + a_n-1 + ... + a1
--------------------------
2S = n·(a1 + an) = n·(a1 + a1 + (n-1)d) = n·(2a1 + (n-1)d)　 [2*]

ya que los términos equidistantes suman lo mismo (a1 + an = a2 + a_n-2 = ...)



Tenemos que buscar siete término ('n' es 7) de una progresión aritmética que sumen 35.350.350 y que tenga por diferencia d = 1.800.000.

Por [2*]:

2·35.350.350 = 7·(2a1 + 6·1.800.000)

a1 = (2·35.350.350 - 42·1.800.000)/14 = -349950

El problema es irresoluble pues sale a1 < 0

No es posible repartir el dinero de esa forma. De todas formas repasa.

an = a1 + (n-1)·3 = 9 => a1 + 3n = 12

2S = n·(a1 + an) => -2·66 = n·(a1 + 9) => n = -132/(a1 + 9)

Sustituyendo (resolviendo):

a1 - 3·132/(a1 + 9) = 12 (multiplicando por (a1 + 9))

a1(a1 + 9)  - 396 = 12·(a1 + 9)

a1² - 3a1 - 504 = 0 (resolviendo la ecuación de segundo grado)

a1 = 24 ; a1 = -21

Para a1 = 24 => n = -4 (descartado por se n<0)
Para a1 = -21 => n = 11 (solución posible)

Si empezamos en el 25, tenemos:

S = 29103
a1 = 25
d = 1

Planteamiento:

2S = n·(2a1 + (n-1)d)

2·29103 = n·(50 + (n - 1)) = 50n + n² - n

n² + 49n - 58206 = 0

Resolviendo:

n = -267 (descartado)
y
n = 218

2·S = 3·(a1 + a3) = 42
y
a1·a3 = 33 => a3 = 33/a1

Sustituyendo:

3·(a1 + 33/a1) = 42

3·a1 + 99/a1 = 42

3·a1² - 42·a1 + 99 = 0

a1 = 11
y
a1 = 3

Para a1 = 11 => a3 = 3 => d = (3 - 11)/2 = -4 => a2 = 11 - 4 = 7

Para a1 = 3 => a3 = 11 => d = (11 - 3)/2 = 4 => a2 = 3 + 4 = 7