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Bloque 1. Opción A

Justifica si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. En el caso de falsa, pon un ejemplo ilustrativo:

a) Si A y B son dos matrices cuadradas cualquiera, entonces A·B = B·A.

b) Si B es una matriz cuadrada, entonces (I + B)² = I + 2B + B². Siendo I la matriz identidad del mismo orden que B)

c) La suma de matrices regulares (inversibles) es una matriz regular (inversible)

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Bloque 1. Opción B

De un sistema de ecuaciones con tres incognitas se sabe que tiene un parámetro m∈ℝ tal que:

Si se multiplica por la primera incognita se obtiene el resultado de restar al número 1 la suma de las otras dos incognitas.

Si se multiplica por la segunda incognita se obtiene el resultado de restar al número 'm' la suma de las otras dos incognitas.

Si se multiplica por la tercera incognita se obtiene el resultado de restar al cuadrado de 'm' la suma de las otras dos incognitas.

a) Formula el sistema lineal descrito.
b) Determina para qué valores de 'm' el sistema es compatible determinado.
c) Determina para qué valores de 'm' el sistema es compatible indeterminado y calcula todas sus soluciones.

a) El producto de matrices no tiene la propiedad comutativa. Basta coger dos matrices de orden 2x2 y comprobar que no se pueden conmutar. Comprobar antes porque eso no quiere decir que algunas lo hagan.

b) (I + B)² = I + 2B + B²

El elemento neutro para el producto de matrices se define como aquella matriz que cumple:

B·I = I·B = B

Por lo tanto:

(I + B)² = (I + B)·(I + B) = I² + I·B + B·I + B² = I² + B + B + B² = I² + 2·B + B²

c) Falso ya que:

son ambas inversibles pero su suma es la matriz nula que no lo es.

a) El sistema es:

mx + y + z = 1
x + my + z = m
x + y + mz = m²

El determinante de los coeficientes tiene las soluciones de (m+2)·(m-1)² = 0 son m = -2 y m = 1 (raíz doble)

Si m ≠ -2 y m ≠ 1, el sistema es compatible determinado por ser los rangos de la matriz de los coeficientes y la ampliada igual a tres (e igual al número de incognitas)

Ahora sigo ...

Si 'm' = 1

Rango de coeficientes = Rango ampliada = 1 < nº de incognitas (tres). Sistema compatible determinado:

x + y + z = 1

x = 1 - y - z

Las soluciones son:

x = 1 - λ - μ
y = λ
z = μ

Por último, si m=-2

El rango de coeficiente es 2 y la ampliada es 3 (confirmar porque no lo he hecho) y entonces el sistema sería incompatible.

La uno a y c he sabido hacerlas, la b no sabía pero ya si. Y el sistema me ha salido menos una solución que habré hecho mal el determinante! graciaas