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Desde  cada vértice de un cuadrado como centro, en el lado A por medio, se describe un cuadrante de circunferencia. ¿Cuál  es el área  del espacio curvilineo  comprendido entre los 4 arcos  al cortarse 2 a 2?

Si tienes la solución mira si da algo parecido a:

R²·(1+π-√3)

Te explico como lo he planteado.



Mi intención es calcular al área a-c-b y multiplicar por 4.

He calculado dónde se cortan las circunferencias de centro (0,0) y (R,0), ambas de radio R

x² + y² = R²

(x-R)² + y² = R²

Sale que:

El punto c tiene de coordenadas (R/2, R√3/2)
El punto b tiene de coordenadas (R√3/2, R/2)

Calculamos el área formada por los puntos d-c-b-e. Para ello integramos para calcular el área:

_R√3/2
∫√(R² - x²)·dx = ½x·√(R²-x²) + ½R²·sen^-1(x/R)
^R/2

Después de sustituir en la x los valores superior e inferior de la definición integral, y restar, queda:

(π·R²/12)

Esto es el área de: d-c-b-e

Ahora hay que quitarle el área formada por el rectángulo d-a-b-e que vale:

base·altura = (R√3/2 - R/2)·(R/2) = R²√3/4 - R²/4 = (R²/4)·(√3 - 1)

Restando ambas, queda:

(π·R²/12) - (R²√3/4 - R²/4) = (R²/12)·(3-3√3+π) = (R²/4)·(1 - √3 + π/3)

El área pedida es cuatro veces la calculada, por tanto:

R²·(1 + π/3 - √3)

A ver si alguién piensa una forma más fácil de hacerlo y menos trabajosa.  

El que no piensa, trabaja.