Foros Ciencias Galilei

Saludos, a ver si alguien me echa una mano con:

                                  dx
∫dx/(a²+x²)^3/2 = ∫ --------------        siendo a ∈ ℝ
                            √(a²+x²)³

∫dx/√(a²+x²)³ =

          dx
−−−−−−−−−−−−−−− = →→
   √(a²+x²)³

Hacemos:

x = a·tg u    =>    dx = a·sec² u du    ;      u = arctg (x/a)     



√(a²+x²)³ = √(a² + a²·tg² u)³ = √[a²·(1 + tg² u)]³ = √[a²·sec² u]³ = a³·sec³ u


             a·sec² u du                       du
→→ = ∫−−−−−−−−−−−− = (1/a²)·∫−−−−−−−− = (1/a²)·∫cos u du = (1/a²)·sen u + Cte =
             a³·sec³ u                        sec u


= (1/a²)·sen u + Cte = →→

Ahora nos queda sustituir u en el seno pero antes lo pondremos de esta forma:
                                                                                         1                  tg² u
sen² u + cos² u = 1   =>   1 + ctg² u = 1/sen² u =>  sen² u = ------------- = ---------- =>
                                                                                   1 + ctg² u         1 + tg² u
                tg u
sen u = ------------
           √1 + tg² u

Entonces, la integral queda:
                                                 tg u                                      x/a
→→= (1/a²)·sen u + Cte =  (1/a²)·-------------- + Cte  = (1/a²)·-------------- + Cte =
                                               √1 + tg² u                            √1 +(x/a)²

                    x                            x
= (1/a³)·-------------- + Cte = ----------- + Cte
            √1 +(x/a)²                a²·√a² + x²