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Buenas noches, mis dudas son las siguientes

resolviendo este ejercicio me da lo siguiente:

∫sen⁵x cos²x dx

∫sen⁴x senx cos²x dx

∫(1-cos²x)² senx cos²x dx

∫(1-2cos²x+cos⁴x) senx cos²x dx

∫senx cos²x dx    -2∫cos⁴x dx  + ∫cos⁶x dx
u= senx
du= cosx dx

sen²x/2   - cos⁵ x/10  + cos⁷x/7 + c

Quiero saber si lo estoy realizando bien.
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Tengo otra duda, cuando deseo realizar un cambio de variable por ejemplo
∫sen²x cos x dx
Al agarrar sen²x como u , tengo que agarrarlo con el el exponente tambien? es decir
u= sen²x    ó     u= senx ?

Hola

∫sen²x cos x dx=

t=senx →dt=cosxdx

∫t²dt= t²⁺¹/(2+1)+C
I=t³/3+C=1/3sen³x+C

yo lo hice así, de todos modos para verificar me fijé en:

∫sen²x cos x dx

∫(1-cos²x)² senx cos²x dx=

t=cosx→ dt=-senxdx

-∫t²(1-t²)²dt=

hice distributiva del binomio y lo que me dió lo distribuí por t², luego:

-∫t⁶-2t⁴+t²dt=-(t⁷/7-2t⁵/5+t³/3)+C

=-1/7t⁷+2/5t⁵-1/3t³+C=

=-1/7cos⁷x+2/5cos⁵x-1/3cos³x+C

Galilei, o quién sea que me corrija si me equivoco. Yo también soy estudiante, puede que haya cometido algún error.

Está correcto.