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Sea la función f definida por f(x)= 2/(x² -1)  para x≠ -1 y x≠ 1.
Halla una primitiva de f.

Hola,

Esta es del tipo racional con raíces reales distintas.

x² - 1 = (x -1)(x + 1)

La expresión 2/(x²-1) se puede escribir de la siguiente forma:

    2               A               B
--------- = --------- + ---------
 x²-1           x - 1         x + 1
 
Hay que buscar el valor de A y B:

    2               A              B            A(x + 1) + B(x - 1)
--------- = --------- + --------- = ---------------------
 x²-1           x - 1          x + 1               x²-1

Como tiene el mismo denominador, los mumeradores han de ser iguales:

2 = A(x + 1) + B(x - 1)

Para x = 1  =>    2A=2    =>   A = 1
Para x = -1  =>    -2B=2    =>   B = -1

La expresión primera toma la forma:

   2·dx             dx           dx                                          x - 1
∫ ------- = ∫ ------- - ∫ ------- = ln (x -1) - ln (x+1) = ln ------- + Cte
   x²-1           x - 1        x + 1                                        x + 1