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Traigo un problema en el cual su desarrollo me trae varias dudas por la notación vectorial.

Sea el campo vectorial A = q/r² u_r, donde q es una constante, calcular el flujo del campo a través de un cubo de arista a y centro en el origen de coordenadas.

El flujo de un campo vectorial inversamente proporcional al cuadrado de la distancia como la función: A = q/r² u_r, es independiente de la figura geométrica que rodea la carga, sea esta una esfera, un cubo, un cilindro, etc. Todas dan el mismo valor.

El flujo se define como:  Φ = ∮ A · da = ∮ A da Cos(β)

Donde da es un vector de área en dirección perpendicular a la misma y β es el ángulo entre los dos vectores.

Si el volumen es una esfera de radio R: Φ = ∮ A · da = ∮ A da   (en este caso los dos vectores son paralelos y β = 0).

Para una esfera: da = R² dΩ   =>  Φ = ∮ A R² dΩ = ∮ (q / R²) (R²) dΩ

La integral se calcula entre 0 y 4π, entonces: Φ = 4πq   Este valor debe dar para cualquier figura.

Vamos a calcular el flujo para un cubo; para esto nos apoyamos en la siguiente figura donde calculamos el flujo para la cara superior del cubo y como para las otras caras es el mismo valor (y la misma forma geométrica), sencillamente lo multiplicamos por 6.

El vector da apunta en la dirección z: da = da k,  A es el vector E en la figura.

Φ=∫A · da = ∫A da Cos(α)

Para un punto P(x, y, L/2)   (He tomado el valor de la arista del cubo como L y no "a" para no confundir con el vector area)

r=(x²+y²+L²/4)^½ También: Cos(α) = (L/2) / r = L / (2r)

La ecuación del flujo queda: Φ = ∫A da Cos(α) = ∫ (q/r²) [L/(2r)] da = (qL/2) ∫ r^-3 da

Finalmente: Φ = (qL/2) ∫∫(x²+y²+L²/4)^-³/₂ dx dy    Puesto que: da=dx dy

Los límites de juntas integrales son entre: -L/2 y L/2. El valor de la integral es: 4π / 3L => Φ = (qL/2)(4π/3L)=4πq / 6

Multiplicamos por 6 para obtener el flujo total: Φ = 4πq

Un saludo.

Muchas gracias! Mi error estaba en no considerar esta igualdad ∫A · da = ∫A da Cos(α), algo muy obvio.