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Hola, tengo dos enunciados que quisiera me ayuden a resolver.

1) Hallar la masa de una lámina que ocupa la región D encerrada entre las parábolas Y= X² - 6X + 8  y  Y= -X² + 4X
si la densidad en cada punto es proporcional a su distancia al eje Y.

2) Hallar el volumen del sólido encerrado por el paraboloide Z = 2X² + 2Y²    y el plano Z = 8

Si pueden ayudarme, lo agradecería. Gracias.

Si la densidad es proporcional a su distancia al eje Y => σ= k*X (k constante de proporcionalidad).  σ = dm / dA  => dm = σ dA

De acuerdo al gráfico un elemento infinitesimal de masa: dm= σ[Y₂(X)-Y₁(X)] dX = k*X*[(-X²+4X)-(X²-6X+8)]*dX =>   dm= k(-2X³+10X²-8X) dX

Para calcular los límites de integración, igualamos las dos ecuaciones: -X²+4X = X²-6X+8 => X²-5X+4=0  =>  (X-1) (X-4)=0    Los límites de integración son X=1 ∧ X=4

        ₄                                 
m= k ∫(-2X³+10X²-8X) dX = 45k/2  (k=1 normalizado).
       ¹





Traza del paraboloide en el plano Z-X

Z=2*X² (Ecuacion 1)

El elemento infinitesimal de volumen, según el gráfico:  dV = π*X²* dZ  (Método de rebanadas) (Ecuación 2)
De la ecuación 1: X²= Z/2

Reemplazando en ecuación 2:  dV= ½*π*Z* dZ   Z varía de 0 a 8 =>

      ₈
V = ∫½*π*Z*dZ  = 16 π
     ₀

Saludos.