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Hola, necesitaría que me ayuden a calcular esta integral..

e⁴
∫ Ln x · dx / (x √(4 - 4Ln x + Ln² x))  
e³


Espero se entienda.. escribo para que quede mas claro..

La integral definida en el intervalo  [e³,e⁴]   del cociente entre el  logaritmo natural de X  y el producto de X con la raíz cuadrada de (4 - 4Ln X + Ln²X)


Gracias.

El denominador es un cuadrado perfecto. (4 - 4LnX + Ln²X) = (LnX-2)². La integral quedaría asi:

   e⁴
± ∫ (Ln X ) dX / [X(LnX-2)]    Hacemos el cambio de variable: Y= LnX-2  =>  dY = dX/X  => dX=X dY
  e³


Los nuevos límites de integración son:  Y₂=Ln e⁴ -2=2  ∧  Y₁= Ln e³-2=1  Reemplazando:

   _{2                                                                                                2}
∓∫ (Y+2 ) X dY / (X Y)  =  ±∫(Y+2 ) dY /Y =  ±∫(1+2/Y)dY  =  ±(Y+2 LnY)| = ±(2 + 2Ln2 -1) = ± (1+2 Ln2)
  ^{1                                                                                                 1}

Saludos.

e⁴
∫ (Ln X ) dX / [X(LnX-2)]   
e³

Lnx = t                   x = e³   ⇒  t = 4
(1/x) dx = dt           x = e⁴   ⇒  t = 3

    (Ln X ) dX
∫ -------------
    [X(LnX-2)]  

4      t dt
∫  ---------
3    ( t-2 )

4    ( t -2 ) + 2 dt
∫  ----------------
3        ( t-2 )

4   ( t -2 ) + 2 dt
∫  ---------------
3       ( t-2 )

 4               4     2 dt  
 ∫  1 dt   +   ∫  ---------
 3               3    ( t-2 )

    4                      4
 [t]     +   [2Ln(t-2)]
    3                      3

 (4-3)  +  [ Ln(2)² - Ln(1)² ]

  1 + Ln4