Tema - Algunas integrales. Por partes y cíclicas (2ºBTO) : Foros Ciencias Galilei


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Algunas integrales. Por partes y cíclicas (2ºBTO)

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Prior

	Algunas integrales. Por partes y cíclicas (2ºBTO) 15 Nov 11, 16:43 25302 # 1

Hola, resulta que me han mandado una hoja de integrales y no tengo ni idea de por dónde pillar algunas, así que si alguien me indica un poco el camino o me explica se lo agradezco :bach:

Son éstas:

1) ∫cos[ln(x)]dx (dice que sale una integral cíclica; he intentado por partes, pero me sale cada vez un grado más :s
2) ∫dx/(x²+5x+6) (sé que es por descomposición, pero no aún no he dado nada de números complejos este año).
3) ∫cos⁵xdx (por cambio de variable)
4) ∫dx/(1+e^x)^1/2 (por cambio de variable)

Muchas gracias de antemano ^^

El mundo es de los valientes; los cobardes lo consienten.

MarLonXL

16 Nov 11, 20:02 25327 # 2

Enunciado

∫cos[ln(x)]dx

∫cos[ln(x)]dx

x = e^t ⇒ dx = e^tdt

Reemplazando

∫ Cos(t) e^t dt

u = Cos t ⇒ du = -Sen t dt
dv = e^t dt ⇒ v = e^t

∫ Cos(t) e^t dt = e^t.Cos t - ∫ (-Sen t) e^t dt

∫ Cos(t) e^t dt = e^t.Cos t + ∫ Sen t e^t dt

u = Sen t ⇒ du = Cos t dt
dv = e^t dt ⇒ v = e^t

∫ Cos(t) e^t dt = e^t.Cos t + [ e^t.Sen t - ∫ Cos(t) e^t dt ]

2 ∫ Cos(t) e^t dt = e^t.Cos t + e^t.Sen t

∫ Cos(t) e^t dt = ½ ( e^t.Cos t + e^t.Sen t ) + C

Reemplazando t

∫cos[ln(x)]dx = ½ ( x Cos[ln(x)] + x Sen[ln(x)] ) + C

MarLonXL

16 Nov 11, 20:10 25328 # 3

Enunciado

∫dx/(x²+5x+6)

∫dx/(x²+5x+6)

x²+5x+6 = (x+2)(x+3)

∫ dx/(x+3)(x+2)

dx 1 1
∫ --------- = ∫( ---- - ----) dx
(x+3)(x+2) x+2 x+3

∫dx/(x+2) - ∫ dx/(x+3)

Ln(x+2) - Ln(x+3)

Reduciendo más:

Ln [ (x+2) / (x+3) ] + C

MarLonXL

16 Nov 11, 20:15 25329 # 4

Enunciado

∫cos⁵xdx

∫cos⁵xdx

Cos² x = 1 - Sen²x

Cos⁴ x = (1 - Sen²x)²

Cos⁵ x = Cos x . Cos⁴ x

∫ uⁿ du = uⁿ⁺¹ / (n+1)

En nuestro problema:

∫cos⁵xdx = ∫ Cos x . Cos⁴ x dx

∫ Cosx . (1 - Sen²x)² dx

∫ Cosx . (1 - 2Sen² x + Sen⁴ x )

∫ Cosx dx - ∫ 2Sen² x Cosx dx + ∫Sen⁴ Cosx dx

Senx - (2/3) Sen³ x + (1/5) Sen⁵ x + C

MarLonXL

16 Nov 11, 20:27 25330 # 5

Enunciado

∫dx/(1+e^x)^1/2

∫dx/(1+e^x)^1/2

e^x + 1 = u²

e^x dx = 2 u du

Reemplazando
   dx 2u du
∫ --------- = ∫ ------------
√1 + e^x    (u² - 1) u

   2 du 2 du    1    1
∫ ---------- = ∫ ----------- = ∫ ( ------ - ------) du
   (u² - 1) (u+1)(u-1) u-1 u+1

   1 1
∫ ( ------ ) du - ∫ ( ------ ) du
u-1    u+1

Ln(u-1) - Ln(u+1) + C

Reemplazando "u"

Ln( √e^x + 1 - 1 ) - Ln( √e^x + 1 + 1 ) + C

Prior

16 Nov 11, 22:22 25335 # 6

Buaahhhh muchísimas gracias tío, si vivieras en mi ciudad te invitaba a una caña!! :D

gracias, en serio :)

El mundo es de los valientes; los cobardes lo consienten.

Prior

16 Nov 11, 23:04 25336 # 7

Una dudita, cuando haces un cambio de variable (vamos a poner x = t⁴-3) para luego calcular el diferencial de "t" se calcula diferencial de x derivando x (siguiendo el ejemplo dx = 4t³dt) y esto vale siempre para cualquier integral, ¿no es así?

Edito: Perdón por el doblepost, no me había dado cuenta :/
Edito2: Me parece que te has equivocado en la segunda: [link]http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=1/(x^2%2B5x%2B6)&random=false[/link]

El mundo es de los valientes; los cobardes lo consienten.

Galilei

16 Nov 11, 23:25 25337 # 8

Ver esto si queréis utilizar el Wolfram:

∫dx/(x²+5x+6)

Prior escribió:

Me parece que te has equivocado en la segunda:

Recuerda que Log [2 + x] - Log [3 + x] = Log [(2+x)/(3+x)] como dice Marlon

"Lee las NORMAS del foro. Gracias"

Prior

16 Nov 11, 23:32 25338 # 9

Ah vale, gracias Galilei, ya lo sé para la próxima. Sí, sí, si las propiedades de logaritmos no se me han olvidado :bach:

jeje

Entonces lo que no he entendido es este paso:

x²+5x+6 = (x+2)(x+3)

¿Alguien me lo puede dar desarrollado?

Y tampoco me ha quedado claro lo de:

dx 1 1
∫ --------- = ∫( ---- - ----) dx
(x+3)(x+2) x+2 x+3

¿Eso de dónde sale?

El mundo es de los valientes; los cobardes lo consienten.

Galilei

16 Nov 11, 23:33 25339 # 10

Hola,

Otra forma para la primera (cíclica):

Enunciado

∫cos [ln x] dx

u = cos Ln x du = (-1/x)·sen L x dx

dv = dx v = x

∫cos ln xdx = x·cos Ln x - ∫x·(-1/x)·sen L x dx = x·cos Ln x + ∫sen L x dx =>=>

Otra vez por partes:

u = sen Ln x du = (1/x)·cos L x dx

dv = dx v = x

=>=> x·cos Ln x + x·sen Ln x - ∫x·(1/x)·cos Lx dx = x·cos Ln x + x·sen Ln x - ∫cos L x dx

Tenemos que:

I = ∫cos L x dx = x·cos Ln x + x·sen Ln x - I

2·I = x·cos Ln x + x·sen Ln x

I = ∫cos Lx dx = ½·x·(cos Ln x + sen Ln x)

"Lee las NORMAS del foro. Gracias"

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