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Agradeceria muchisimo si me pueden ayudar con este ejercicio que no entiendo nada.

Resolver la siguiente funcion integral con funciones trigonometricas y exponenciales.

∫ (3 cosec x -a^x) dx

Completa tu perfil. Gracias.

∫ (3 cosec x -a^x) dx

∫ (3 csc x) dx - ∫ a^x dx

3[ ∫ Cscx(Cscx + Ctgx)dx / (Cscx + Ctgx) ] - ∫ a^x dx

3[ ∫ (Csc²x + Cscx Ctgx)dx / (Cscx + Ctgx) ] - ∫ a^x dx

-3[ ∫ (-Csc²x - Cscx Ctgx)dx / (Cscx + Ctgx) ] - ∫ a^x dx

u = Cscx + Ctgx
du = (-Csc²x - Cscx Ctgx)dx

-3[ ∫ du / u ] - ∫ a^x dx

-3 Ln(u) - ∫ a^x dx

-3 Ln(Cscx + Ctgx) -  a^x  + C
                            Ln a

-Hola, Tomobre:

Sea  I = ∫ (3 cosec x -a^x) dx  . Es integral de una diferencia, así que la podemos separar:

I = I1 - I2, con
I1 = ∫ 3 cosec x dx    ;   I2 = ∫a^x) dx

........................................
                                       dx    
I1 = ∫ 3 cosec x dx = 3 ∫ ----------   (ojito con ese 3, que no se escape).
                                    sen x

Como 1/senx es función impar, conviene hacer el cambio t = cos x

  t = cos x                                                 - dt
 dt = -sen x dx => dt = - √(1-t²) dx => dx = --------
                                                             √(1-t²)

                                   1                         1               -dt                     dt
Sustituyendo: I1 = 3 ∫ -------- dx = 3 ∫ ---------- * ----------- = - 3 ∫ --------  que es racional.
                                 sen x                  √(1-t²)       √(1-t²)                 1-t²

Operando fuera del signo integral:
    1               1              A           B         A(1-t) + B(1+t)
------- = ------------= ------ + ------ = ------------------
  1-t²       (1+t)(1-t)       1+t        1-t               1-t²

nos interesa la forma rojilla.
De estas igualdades tomamos la primera y la última; teniendo asegurados los denominadores, es:

1 = A(1-t) + B(1+t)

Dando a t los valores de las raíces y sustituyendo, se tiene:
t=1 => 1 = A (1-1) + B (1+1) => 1 = 2B => B = 1/2
t=-1 => 1 = A (1+1) + B (1-1) => 1 = 2A => A = 1/2

              1         A        B         1/2         1/2
Luego    ----- = ----- + ---- =  ------- + ------
            1-t²      1+t     1-t        1+t         1-t

Integrando esta parte:
          1                        1                                                           1+t
1/2 *∫----- dt + 1/2 * ∫------ dt = 1/2 ln (1+t) - 1/2 ln (1-t) = 1/2 ln ------
         1+t                    1-t                                                           1-t


Deshaciendo el cambio t= cos x, por fin es:
                   1+cos x
I1 = -3/2 ln  ----------
                         1-cos x

Ahora I2:

I2 = ∫a^x dx   es inmediata:

  si   y=a^x  => y' = a^x ln a

                              1                             a^x
Luego I2 = ∫a^x dx = ------- ∫ln a * a^x dx = -----
                             ln a                         ln a

Reunimos todo: I = I1 - I2 =>

                 1+cos x            a^x
I = -3/2 ln -----------  -  ------  +  C
                      1-cos x           ln a

Venga.