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Evaluar utilizando identidades trigonométricas adecuadas:

Me podrían explicar como se realizan detalladamente? y cuales son las identidades trigonométricas que hay que tener en cuenta?

a)∫cos³x dx
b)∫cos³xsen²x dx

a) ∫cos³x dx=∫cosx*cos²x dx

De la identidad pitagórica cos^x+sen²x=1 entonces cos²x=1-sen²x, de esta forma:

∫cos³x dx=∫cosx*cos²x dx=∫cosx (1-sen²x )dx

=∫cosx dx-∫cosx sen²xdx = senx -∫cosx sen²xdx

Para hacer la iintegral que queda, hacemos el cambio U=senx entonces dU=cosx dx, así:

=senx-∫U²dU=senx-1/3 U³+C

Devolviendo la sustitución, obtenemos finalmente que:

∫cos³x dx=senx-1/3 sen³x+C

Éxitos!!!...

b) ∫cos³xsen²x dx=∫cosx cos²x sen²x dx

Usando la identidad pitagorica:

=∫ cosx (1-sen²x) sen²x dx

= ∫ cosx sen²x dx -∫cosx sen⁴x dx

Haciendo que U= senx → dU= cosx dx, tenemos que.

=∫U²dU-∫U⁴dU = 1/3 U³-1/5 U⁵+C

Devolviendo la sustitución:

∫cos³xsen²x dx= 1/3 sen³x-1/5 sen⁵x+C

Éxitos!!!...