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Hola, tengo problemas al resolver dos integrales indefinidas:

           sen² x dx
∫ ---------------------------- =
    (sen³ x + cos³ x )·cos x


∫   √(x² - a²)/x  dx


¿Podrían decirme cual es la solucion y como han llegado a ella, es decir, las sustituciones o los métodos de resolucion de integrales que han utilizado? La primera la he intentado resolver por sustitucion y no me ha salido y la segunda, directamente no sé por dónde empezar. Muchas gracias por todo.

La primera no entedí bien tu integral, para nada.

En la 2da se entiende.

∫ √x² - a² dx
  -----------
        x

Cuanto tienes esto, puedes aplicar el método de sustitución trigonométrica y si te das cuenta tienes en la raiz 2 números cuadrados, entonces aplicas lo siguiente

1) √a² - x² = a * sen θ
2) √a² + x² = a * tan θ
3) √x² - a² = a * sec θ

Si te das cuenta tu integral se parece al inciso (3)

Entonces usaremos una de esas...  ahora iniciémos.

x = a * sec θ
dx = a * sec θ tan θ dθ
x² = a² * sec² θ --------------> Esto lo pondré porque nos servirá, sólo elevé al cuadrado todo.

ahora reemplazemos en lo que se integrará lo que tenemos.
    ____________
∫ √ a² sec²θ - a²    a sec θ tan θ dθ
  ---------------------------------
                    a sec θ

en la raiz se puede factorizar lo siguiente
 _______________
√ a² ( sec² θ - 1)      pero si te das cuenta es una identidad trigonométrica [ sec² θ - 1 = tan² θ ]

reemplazando

  ________
√ a² tan² θ = a tan θ

entonces esto ya quitamos la raiz.

∫ a tan θ [ a sec θ tan θ dθ ]
-----------------------------
            a sec θ

pero podemos eliminar lo que está de rojo...

Ahora tenemos lo siguiente

∫ a tan θ tan θ dθ = a ∫ tan² θ dθ

pero si te das cuenta

tan² θ = sec² θ - 1  --------> entonces -------> a ∫ sec² θ - 1 dθ = a ∫ sec² θ dθ - a ∫ dθ

pero la integral de la secante al cuadrado es tangente, y la integral de dθ es teta entonces.

a tan θ - aθ + C

ahora recuerda que todo está expresado en términos de θ pero la original es en términos de "x" entonces lo regresamos, pero θ es un ángulo de un triángulo rectángulo...

al principio teniamos x = a sec θ
                              x
despejando sec θ  = ----
                              a

y despejando  θ

θ = Arc Sec ( x / a)

la hipotenusa es = x
el cateto adyacente = a
el cateto opuesto = √x² - a²

entonces reemplazando en nuestro resultado de la respuesta de la integral en términos de θ

a √x² - a²
----------- - a Arc Sec (x / a) + C
       a

Esto queda

√x² - a² - a Arc Sec (x/a) + C


Listo, eso es todo... fácil

Muchísimas gracias por la resolución, no tenía ni idea de qué sustitución utilizar y, de hecho, en mis apuntes no tenía ninguna sustitución de ese tipo, mil gracias.

Respecto a la primera integral, es esta:

              sen²(x)
∫        --------------------------------          dx             
            (sen³(x)+cos³(x))·cos(x)                                                                      

se me había ocurrido el cambio sen(x)= 2·t / (1+ t²)  y  cos (x) =(1-t²) / (1+t²) y dx= 2·dt/(1+t²), pero al final no llego a un resultado que me permita hallar la primitiva de la integral. Gracias por adelantado a quien me ayude :)

Pues creo que ese es un buen cambio para hacer esta integral.  

Está medio compleja, porque sin embargo yo miro ahi la integral por fracciones parciales después de todo.

pero no sabría como hacerle.

He realizado de nuevo el ejercicio aplicando el cambio dicho arriba y se pueden simplificar algunas cosas, pero aun así me queda una integral que no se resolver:

                 2 t²
∫ ----------------------------------      2 dt  
       (( 2t)³+(1-t²)³ )  · (1-t²)
        -------------------------
            1+t²

¿alguna idea?¿o he eliminado terminos que no deberia haber eliminado?

.            sen² x dx
∫ ---------------------------- =
    (sen³ x + cos³ x )·cos x

          sen x·sen x dx
∫ ---------------------------- =
  (sen³ x + cos³ x )·cos x

          sen x·tg x dx
∫ --------------------- =
   (sen³ x + cos³ x )

Dividimos por cos³:

     tg² x·(1/cos² x) dx
∫ --------------------- =
       (tg³ x + 1 )

En numerador es la derivada del denominador:

             3·tg² x·(1/cos² x) dx
(1/3) ∫ ----------------------- =
                 (tg³ x + 1 )

= (1/3)·Ln (tg³ x + 1 ) + Cte