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A.  De todas las primitivas de la funcion f(x)=  x·|x-1| ‌ determina aquella cuya grafica pasa por P (0,2)

B.Compruebe que y = x es la recta tangente a la grafica de f en x= 0. Dibuja el recinto limitado por la curva anterior y dicha tangente.

Descomponemos la función:


             {  x·(-x+1) = -x² + x      x < 1
x·|x-1| = {
             {  x·(x-1)   = x² - x       x ≥ 1


Esta función puede escribirse así:

(x² - x)·Sig (x-1)

Siendo Sig (x-1) = +1   si x>1    ;    -1    si x<1     ;   0     si x = 1   (es una cte)


función Integral:

-x³/3 + x²/2 + C   x < 1     Si pasa por (0,2)    =>    C = 2

x³/3 - x²/2 + C'   x ≥ 1      Para que sea continua en x=1   C' = 14/6


-x³/3 + x²/2 + 2   x < 1

x³/3 - x²/2 + 14/6   x ≥ 1  



La pendiente en x = 0 es la derivada de f(x) en x = 0

f'(x):

-2x + 1    x < 1
2x - 1      x >1

f'(0) = 1 = m    la recta tangente es   y = m·x + n      =>     y = x + n        (m=1)

Como ha de pasar por (0,0) (la función cumple que f(0)=0)

La recta tangente es y = x

como calculo ahora el recinto?