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Hallar el área del triángulo de base b y altura h mediante integración.

Hola de nuevo,

Llamenos (k,h) al punto de intersección de ambas rectas. 'k' es la base del triángulo de la izquierda. Distancia del origen a la altura.

La ecuación de la recta sería (pasa por (0,0) y (k,h))

f(x) = (h/k)·x

      _{k                                k}
A = ∫(h/k)·x·dx = (h/k)·[x²/2]  =  (h/k)·[k²/2] = k·h/2
     ^{0                                 0}

Teniendo en cuenta que si a la otra recta la giramos para que el punto x=b coincida con x=0, el punto k sería, ahora, (b-k), el área de esta función sería:

A = (b-k)·h/2

Sumando ambas:

At = k·h/2 + (b-k)·h/2 = b·h/2

No está mal no está mal, pero has tenido que hacer un giro de 180º y una traslación de la segunda recta. ¿ Qué te parece sin hacer tal artificio si seguimos integrando ? Más que nada es por hacerlo más dificil.

Pues vale,

La segunda recta tiene por ecuación (pasa por (k,h) y (b,0)). Tiene pendiente -h/(b-k)

y = -h·x/(b-k) + n

como pasa por (b,0), debe cumplir la ecuación (de ahí sacamos n)

0 = -h·b/(b-k) + n  =>  n = h·b/(b-k)

La ecuación es:

y = -h·x/(b-k) + h·b/(b-k)   (se podría haber aplicado aquello de y-yo = m·(x-xo))

Integrando:

F(x) = ∫y·dx = -h·x²/2(b-k) + h·b·x/(b-k)

Imponiendo límites de integración desde k a b

F(b)-F(k) = -h·b²/2(b-k) + h·b²/(b-k) - (-h·k²/2(b-k) + h·b·k/(b-k)) =

h·b²/2(b-k) + h·k²/2(b-k) - h·b·k/(b-k) =

[h/2(b-k)]·(b² + k² -2bk) = [h/2(b-k)]·(b - k)² = (b - k)·h/2

Como el primer triángulo tenía por área: k·h/2 , sumando:

(b - k)·h/2 + k·h/2 = b·h/2

Los artilugios son muy interesantes. El que no piensa, trabaja.