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hola, tengo un ejercicio que no se bien como resolver , si me podrian ayudar se los agradeceria mucho ..

calcule la masa de una lamina que ocupa la region del cuarto cuadrante dada por 4≤ x²+y²≤25 si la ley de la densidad es : ρ(x,y)=e^-(x²+y²)

en lo q tengo problemas tambien es noce cuales son los limites de integracion , bueno de antemano gracias

nota: solo resolverlo  empleando integrales dobles ,se integra la densidad pero lo q no se bien son los limtes de integracion

Hola.

Este problema es propicio para utilizar integrales dobles pero en polares debido a la simetría de la figura y a la forma de la función densidad.

En polares:

Región:     a² ≤ x² + y² ≤ b²

d(x,y) = e^-(x²+y²)

dA = r·dr·dα

dM = d(x,y)·dA

x² + y² = r²  (cambio)

M = ∫e^{-(x² + y²)}·dA = ∫e^-r²·r·dr·dα =

_{π/2      b}
∫dα · ∫e^-r²·r·dr =
^{0       a}

_{π/2              b}
∫dα · (-½)∫e^-r²·(-2·r)·dr =
^{0               a}

_{π/2                                              π/2}
∫ -½(e^-b²-e^-a²) dα =  [-½(e^-b²-e^-a²)α]   =                    (entre 0 y π/2)
^{0                                                 0}

= -½(e^-b²-e^-a²)π/2 = (π/4)·(e^-a²-e^-b²)

En este ejemplo sería:

(π/4)·(e^-2²-e^-5²) = (π/4)·(e^-4-e^-25)

Confirma que es correcto lo realizado.

IntegralesDobles (fing.edu.uy)

Nota: Lo he calculado en el primer cuadrante en vez de en el cuarto porque la masa es la misma debido a la simetría de los datos (funciones pares)

perdon lo escribi mal , era :4≤ x²+y²≤ 25 , la circunferencia varia entre 2 y 5 ..

Así lo he hecho. Me imaginé que te había confundido al escribirlo.

gracias galilei , me ayudo mucho