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buenas a todos, aqui os dejo un ejercicio que me veo un poco confundido, claro se resolverlo por el metodo largo que es calculando el flujo(∫F.N.ds) de cada normal presentes en dicha superficie pero bueno, el fin el ejercicio sita asi:

Calcular el Flujo donde F(x,y,z)=<2x,3x,-y> en la superficie S: x² + y² = z  limitada por Z=4, por favor os pido resolver por el teorema de Gauss(Divergente)

Teorema de la Divergencia:

∫∫∫ ∇.F dV = ∫F.N.ds = Φ
　 ^V

F = (2x,3x,-y) y V  es el volumen delimitado por las superficies: x²+y² = z ,  z = 4

∇.F = ∂Fx/∂x +  ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z = 5

Trabajando en coordenadas cilíndricas (r,z,φ) , definimos los límites de integración la el volumen V:

Como la proyección sobre el plano xy es un circulo de radio 2, φ ∈ [0,2Π] y r ∈ [0,2]
luego z ∈ [r², 4].

　　 _{2Π  2  4}
Φ = ∫  ∫  ∫ (∇.F) r dz dr dφ
　　 ^{0  0  r²}

　　　_{2Π  2　　　　　　　　 　2Π  2}  
Φ = 5∫  ∫  r(4 - r²) dr dφ =   5∫  ∫  (4r - r³) dr dφ =  40∏
　　　^{0  0　　　　　　　　　　0  0}

aa muchisimas gracias por la respuesta, la verdad me invente ese ejercicio jejeje pero lo mas importante es que ya entendi, es mucho mas corto por este metodo y no hacerlo por partes calculando el flujo de cada normal que interviene en la superficie, ahora otra preguntita, en la integral, se observo que usted la resolvio por coordenadas cilindricas, los primeros limites de la integral en ves de ser 2Π a 0, tambien no pueden ser de Π/2 a 0?