Foros Ciencias Galilei

Gracias Galilei por la ayuda prestada va a salvar a un poco de estudiantes desorientados ja ja ja



la mayor duda que tenemos es en el 7 y el 8 porque deducimos (ya que no dice especificamente) que la resolucion es por sustitucion trigonometrica y nosotros lo resolvimos por otro metodo ya que esa parte no la tenemos clara.

Reitero mis agradecimientos.

7)

　　　dx
∫------------
　x·√x² + a²

Hacemos el cambio:

x² + a² = t² => x = √t² - a²

2x·dx = 2t·dt => dx = t·dt/x = t·dt/√t² - a²

Sustituimos:

　　　　　　　　t·dt
∫-------------------------- =
　(√t² - a²)·(√t² - a²)·t

Simplificando:

　　　dt
∫---------- = *
　(t² - a²)

Esta es racional:

　　A　　　　B　　　　　A·(t + a) + B·(t - a)　　　　1
-------- + ------- = --------------------- = ------------
　t - a　　　t + a　　　　　t² - a²　　　　　　　　t² - a²

A·(t + a) + B·(t - a) = 1

A = 1/2a
B = -1/2a

* = (1/2a)·[L (t - a) - L (t + a)] =

　　　　　　(t - a)　　
= (1/2a)· L ------- + C =
　　　　　　(t + a)

　　　　　　(√x² + a² - a)　　
= (1/2a)· L ---------------- + C
　　　　　　(√x² + a² + a)

8)
　　　dx
∫------------
　x·√x² - a²

x² - a² = t² => x = √t² + a²

x·dx = t·dt => dx = t·dt/x = t·dt/√t² + a²

Sustituimos:

　　　　　　t·dt
∫---------------------- =
　t·(√t² + a²)·(√t² + a²)

　　dt
∫------------ =
　(t² + a²)

dividimos numerador y denominador por a²:

　　　(1/a²)·dt
= ∫ ------------ =
　　　(t/a)² + 1

　　　　　　(1/a)·dt
= (1/a)·∫ ----------- =
　　　　　　(t/a)² + 1

= (1/a) arctg (t/a) + C =

= (1/a) arctg (√x² - a²/a) + C =

¿Cuál es la siguiente en la que hay dudas?

Fijate bien lince, esta bien, despejas la 'x'. Suma a² en los dos miembros de la ecuacion y queda eso.

8) Revisión:

　　　dx
∫------------
　x·√x² - a²

Si en esta intentas utilizar el cambio x = a·tg t te queda:

dx = a·(1 + tg² t)·dt

sustituye y te queda:

　　a·(1 + tg² t)·dt
∫------------------ =
　a·tg t·√a²·tg²x - a²

　　　　　(1 + tg² t)·dt
(1/a)·∫------------------ =
　　　　tg t·√tg²x - 1

No parece que sea un buen cambio porque arriba hay un +1 y abajo -1 con la tangente cuadrado.

Mira este enlace . Ahí sí lo es.

Como lo he realizado en el mensaje anterior, si haces la derivada de la solución sale la integral. Lo hice con el Derive que nunca se equivoca.

---

7) Revisión:

　　　dx
∫------------
　x·√x² + a²

Haciendo el mismo cambio quedaría:

　　　a·(1 + tg² t)·dt
∫----------------------- =
　a·tg t·√a²tg² t + a²

　　　　　(1 + tg² t)·dt
(1/a)· ∫----------------------- =
　　　　tg t·√tg² t + 1

　　　　　√(1 + tg² t)·dt
(1/a)·∫ ----------------------- =
　　　　　　　　　tg t

Como 1 + tg² t = 1/cos² t = sec² t

　　　　　　　cos t·dt　　　　　　
= (1/a)· ∫------------- =
　　　　　　cos t·sen t

　　　　　 dt　　　　　　　　
= (1/a)·∫ ------- =
　　　　　sen t

= (1/a) L tg (t/2) + C

donde

t = arctg (x/a)

Hay que tener en cuenta que pueden ser identidades trigonométricas las soluciones que aparentemente son distintas.

2)



tg x = t
dt = (1 + tg² x)·dx = (1 + t²)·dx

dx = dt/(1 + t²)

∫tg⁶x·dx = ∫t⁶·dt/(1 + t²) =

Dividimos t⁶ entre 1+t² y queda:

　　t⁶　　　　　　　　　　　　　　1
------------ = t⁴ - t² + 1 - ---------
　t² + 1　　　　　　　　　　　　t²+1

Integrando cada témino queda:

(1/5)·t⁵ - (1/3)·t³ + t - arctg t + C

deshaciendo el cambio:

(1/5)·tg⁵ x - (1/3)·tg³x + tg x - arctg tg x + C =

(1/5)·tg⁵ x - (1/3)·tg³x + tg x - x + C

-

3)



(1/7)·∫dx/((x/√7)² + 1) =

∫(1/√7)·∫(1/√7)·dx/((x/√7)² + 1) =

(1/√7)·arctg (x/√7) + C

4)



x = 2·tg t

dx = 2·(1 + tg² t)·dt

　2·(1 + tg² t)·dt
∫--------------- =
　√(4 + 4·tg² t)

　2·(1 + tg² t)·dt
∫--------------- =
　2·√(1 + tg² t)

　(1 + tg² t)·dt
∫--------------- =
　∫√(1 + tg² t)

= ∫√(1 + tg² t)·dt = ∫sec t dt = Ln tg (t/2) + C =

Ln tg ½·(arctg (x/2) + C

---

6)



　　a·dx
∫ ---------- =
　　a - x

　　　　-dx
-a·∫ ---------- = -a·Ln (a - x) + C
　　　　a - x

Te pongo las soluciones de la racionales:

Soluciones:

9)  arctg (x+2)

10) ½·arctg [½·(2x+1)] + (1/4)·Ln (4x²+4x+5)

11) 3·Ln (x-3) - 3·Ln (x-2) + x = x + 3·Ln [(x-3)/(x-2)]

12) (1/4)·Ln (x+3) - (1/3)·Ln (x+2) + (1/12)·Ln (x-1)

13) Ln x - Ln (x+1) + 1/(x+1) = Ln [x/(x+1)] + 1/(x+1)

14) -(7/16)·Ln (2x-1) - (9/16)·Ln (2x+1) + Ln x + x/4