Foros Ciencias Galilei

hola a todos, espero que hayan tenido unas buenas fiestas ¡¡¡

pero lamentablemente a mi me falta esta semana para terminar las clases    y se me viene el examen de calculo, por eso necesito comprobar si estos ejercicios estan bien


1) hallar el volumen del solido entre las graficas:  y = x²  e   y = 4x - x² entorno a la recta x = 2

2) hallar el area de la region encerrada por: f(x) = √(1 - x²)

g(x) =

-x si x< 0
x si x ≥ 0



este ultimo no estoy seguro al momento de encontrar los ptos. de interseccion de las dos parabolas, a mi me de 1 y -1, pero la grafica no coincide.

de antemano gracias

Hola  Rhyodan, bienveni@ al foro.



Lo primero es ver donde se cortan ambas funciones (en la parte positiva de las x):

√(1 - x²) = x

1 - x² = x²

2x² = 1 => x ∓√½ (x = √½)

Ahora hacemos la integral desde:
_√½
∫√(1 - x²) dx
⁰

El área de la recta y=x es (un tiángulo) ½·B·h = ½(√½)(√½) = 1/4 u

Para hacer la integral ∫√(1 - x²) dx hay que hacer el cambio:

x = sen t
dx = cos t dt

∫√(1 - x²) = ∫√(1 - sen²t)·cos t dt = ∫cos² t dt

Esta es fácil haciendo cos²t = ½(1 + cos 2t)

No olvides cambiar los límites de integración de x a t.

El área será:

　_√½
[∫√(1 - x²) dx - 1/4 ]·2
⁰

Se calcula para x > 0 y se multiplica por 2 ya que es simétrica.

Perdon, pero g(x) = {  - x si x<0
                                x²  si x>0

f(x) = √1-x²

puedo generar lo siguiente: f(x) = y, por lo tanto y = √1-x²   

y² = 1-x² y esto a su vez igualarlo a g(x) =x² ???

Ya está editado y corregido.

Para este problema he encontrado esto (que habría que demostrar):

Método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:

　　　　 _b
V = 2·π·∫(x - k)²·(f'(x) - g'(x))·dx
　　　　 ^a

Esta fórmula se simplifica si giramos una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:

　　　　 _b
V = 2·π·∫x²·f'(x)·dx
　　　　 ^a

Yo lo he hecho como está en el primer enunciado, si es con x² si x ≥ 0 entonces la solución que sale es muy 'fea' (corte entre ambas funciones). Asegurate de cómo es el ejercicio.

Muchas gracias por tu preocupacion, pero el ejercicio es con x², es demasiado complejo ??

tan melefico es este profesor jajaja