Foros Ciencias Galilei

∫ln(√(1-x)+√(1+x)) dx

√(1-x)+√(1+x) = t

√(1-x) = t - √(1+x)

(1-x) = t² + 1 + x - 2t√(1+x)

2t√(1+x) = t² + 1 + x -1 + x = t² + 2x

4t²(1+x) = (t² + 2x)² = t⁴ + 4x² + 4t²x

4t² + 4t²x = t⁴ + 4x² + 4t²x

x² = (4t² - t⁴)/4      =>   x = ½√(4t² - t⁴)

4·x·dx = (8t - 4t³)·dt    =>    4x·dx = (8t - 4t³)·dt

dx = (8t - 4t³)·dt/4x = (8t - 4t³)·dt/[2√(4t² - t⁴)]  (No me interesa simplificar)

sustituyendo queda:

∫ln(√(1-x)+√(1+x)) dx = ½∫ln t · (8t - 4t³)·dt/[√(4t² - t⁴)] dt = **

Fijate que en la última expresión en el numeror está la derivada de la raíz.

Ahora por partes:

u = Ln t   =>  du = dt/t

dv = (8t - 4t³)·dt/[√(4t² - t⁴)] dt     =>   v = 2√(4t² - t⁴)

** = u·v - ∫v·du = 2√(4t² - t⁴)·ln t - 2∫√(4 - t²)·dt

La integral de ∫√(4 - t²) = ½√(4 - t²) + 2·sen^-1(½t)

Esta última no la he hecho (la he buscado pero no debe de ser difícil). Queda:

∫ln(√(1-x)+√(1+x)) dx = 2√(4t² - t⁴)·ln t - √(4-t²) + 4·sen^-1(½t) + cte

Deshaciendo el cambio: (t = √(1-x)+√(1+x))

= 2√(4(√(1-x)+√(1+x))² - (√(1-x)+√(1+x))⁴)·ln (√(1-x)+√(1+x)) - √(4-(√(1-x)+√(1+x))²) + 4·sen^-1(½(√(1-x)+√(1+x))) + cte

Puede que se me haya escapado alguna cte por el camino. Revisa si quieres.