Foros Ciencias Galilei

Respecto a:

       dx
∫----------------
   (x-2)²(x²+1)

Al querer resolverlo con método de fracciones simples me topé con que no puedo sacar raíz con
(x²+1), ¿cómo lo resuelvo?

Desglosalo a fracciones parciales y la integral se hace más sencilla.

Hay una raíz doble y otra compleja (con su conjugada). Como la raíz es doble necesitamos dos parámetros. Y para la compleja se escribe en el numerador una función lineal:

             1                    A                B            Mx + N
 ---------------- = ----------- + ---------- + ------------
     (x-2)²(x²+1)         (x-2)²           (x-2)          (x²+1)


Operando:

1 = A·(x²+1) + B·(x-2)·(x²+1) + (Mx + N)·(x-2)²

Para x = 2    =>     A = 1/5

Para x = 0    =>    1 = A - 2B + 4N       2N - B = 2/5   =>    10N - 5B = 2

Para x = 1   =>   1 = A·2 - 2·B + M + N   =>   M + N - 2·B = 3/5   =>     5M + 5N - 10B = 3

Para x = -1   =>  1 = A·2 + -6·B + -9M + 9N     =>   3N - 3M - 2B = 1/5   =>   15N - 15M - 10B = 1

Resolviendo:

B = -4/25       M = 4/25       N = 3/25

La integral:

   -1                                     (4x/25 + 3/25)
---------- - (4/25)·Ln (x-2) + ∫--------------  dx
5·(x - 2)                                     (x²+1)


   -1                                                 2 dx                       dx
---------- - (4/25)·Ln (x-2) + (2/25) ∫---------- + (3/25) ∫---------  
5·(x - 2)                                          (x²+1)                    (x²+1)


   -1
---------- - (4/25)·Ln (x-2) + (2/25)·Ln (x²+1) + (3/25) arctg x  + Cte
5·(x - 2)

∫dx/[(x-2)²(x²+1)]