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hola G

Te queria pedir ayuda en este ejercicio.

Decidicir si la funcion (x) = -³√x . (x-7)² en [0,7] satisface el teorema de rolle en el intervalo indicado.

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se que tiene que cumplir las 3 hipotesis y luego planteo la tesis.

h1) f(0)=f(7) cumple es 0=0
h2) derivada en (0,7) no se como hacerlo
h3) continua en [0,7]

tesis)

∃ c ∈(0,7) / f`(c) = 0

-³√c (c-7)²=0

⅓√c.2(c-7)=0

No se si lo estoy haciendo bien.

Muchas gracias de antemano.

Hola,

Es un producto de dos términos:

-³√x . (x-7)²

La derivada de uⁿ = n·u^n-1
                                                                1
³√x  = x^1/3  →   derivada  → (1/3)·x^-2/3 =  ---------
                                                              ³√x²  

(x-7)²   →   derivada  →   2·(x-7)

La derivada de  u·v es  u·v' + u'·v   Por tanto:

               (x-7)²
f'(x) = - ( -------- + ³√x·2·(x-7) )
               ³√x²

                (x-7)² + 2·³√x·³√x²·(x-7)         (x-7)² + 2·x·(x-7)            (x-7)·((x-7) + 2x)
f'(x) = 0 = - -------------------------- = - --------------------- = - ------------------ = 0 =>
                          ³√x²                                    ³√x²                           ³√x²


=>  (x-7)·((x-7) + 2x) = 0    si    x = 7    o    (x-7) + 2x = 0    =>   3x = 7  =>  x = 7/3

muchas gracias G.