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1) Dada la función f(x)= (ax + b)/(x - a) . Calcula el valor de a y b para que la funcion pase por el punto (1,0) y f'(1)=2

2) Calcula las tangentes a la curva f (x)= x⁴-10x que sean paralelas a la recta y= - 2x



Gracias desde ya !

Hola,

f(1) = (a+b)/(1-a) = 0    =>            a+b=0     con  a≠1

La derivada es (cociente):

         (x-a)·a - (ax+b)·1         -a² - b        -(a² + b)
f'(x) = ------------------- = ------------ = ------------
                (x-a)²                   (x-a)²           (x-a)²

Sustituimos en f'(x) el valor x = 1  y resolvemos

f'(1) = -(a² + b)/(1-a)² = 2

-(a² + b) = 2·(1-a)² = 2 - 4a + 2a²

2 + 3a² + b - 4a = 0         b = 4a - 3a² - 2

Sustituyendo en a + b = 0   (con a≠1)

a + 4a - 3a² - 2 = 0            3a² - 5a + 2 = 0    (a-1)(3a-2)=0

Como a≠1 el único valor permitido es a = 2/3    =>    b = -a = -2/3

La función pedida es:

f(x) = (2/3)·(x-1)/(x - 2/3)

Si la tangente es paralela a -2x tiene también pendiente -2.

Vamos a calcular en qué punto la función tiene pendiente (derivada) igual a -2:

f'(x) = 4·x³ - 10  = -2          4·x³ = 8      x = ³√2

La imagen de x = ³√2   es    y = (³√2)⁴ - 10·³√2 = 2·³√2 - 10·³√2 = -8·³√2

El punto de tangencia es;

(³√2, -8·³√2)

La recta paralela a -2x debe pasar por este punto:

y = -2x + n

-2·³√2 + n = -8·³√2           n = -6·³√2

La recta pedida es:

y = -2x - 6·³√2

el 1 no lo entiendo ... podrias explicarmelo ? gracias