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Buenas, lo primero gracias por prestarme atención lo segundo, necesito ayuda para sacar la función n-ésima de f(x)= (x-2)/(x+4)

He ido haciendo las derivadas hasta y'IX
He llegado a la conclusión de que la zona inferior de la fracción es (x+4)ⁿ⁺¹
Mi problema llega al sacar la zona superior.

Para
y'=6
y''=12
y'''= 36
y^IV= 144
y^V= 720
y^VI=4320
y^VII= 30240
y^VIII= 241920
y^IX= 2177280

Esto es lo que me da en la parte superior de la fracción, ya que la parte de abajo, ya la he sacado.

Tengo que proponer una fórmula para la derivada de la función n-ésima y demostrar por inducción que es correcta.

Gracias :D

f(x)= (x-2)/(x+4)

         (x+4) - (x-2)               6
f'(x) = ---------------- = ---------- = 6·(x+4)^-2
              (x+4)²               (x+4)²

f'' = -6·2·(x+4)^-3

f''' = +6·2·3·(x+4)^-4

f'''' = -6·2·3·4·(x+4)^-5

Sea n el orden de la derivada:

Para escribir el signo ponemos (-1)ⁿ⁺¹   que es + cuando n es impar y - cuando es par

Para es 2·3·4·5 podemos ponerlo como 1·2·3·4·5 = 5!  (factorial)

Con todo ello la derivada enésima es:
                                     6·(-1)ⁿ⁺¹·n!
6·(-1)ⁿ⁺¹·n!·(x+4)^-(n+1) = -------------
                                      (x+4)⁽ⁿ⁺¹⁾

Por inducción.

Se supone cierta para (n-1) y se demuestra para n.

Para n-1 se cambia n por n-1:

f^n-1 = 6·(-1)ⁿ·(n-1)!·(x+4)^-n

Derivamos:

fⁿ = (-1)·n·6·(-1)ⁿ·(n-1)!·(x+4)^-n-1 = (-1)ⁿ⁺¹·6·n!·(x+4)^-(n+1)


Ten en cuenta que (-1)·(-1)ⁿ = (-1)ⁿ⁺¹    y que  (n-1)!·n = n!