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Hola tengo un problema con este problema, espero que alguien me pueda ayudar, de ante mano se los agradezco, Saludos

A) Diseñe un modelo matemático  para la temperatura de un pastel mientras esta dentro de un horno con base en las siguientes suposiciones:

En un tiempo=0 la mezcla de el pastel esta a temperatura ambiente de 70ºF; el horno no se precalienta de modo que en t=0 cuando la mezcla de pastel se coloca dentro de le horno, también es de 70ºF, la temperatura del horno aumenta de manera lineal hasta t=4minutos, cuando se alcanza la temperatura de 300ºF la temperatura del horno permanece constante en 300ºF para t ≥ 4minutos.
B) use la transforma de Laplace para resolver el problema de valores iniciales del inciso A).

¿Podrían explicármelo paso a paso por favor? Gracias

A) Si dice que el cambio en la temperatura con respecto al tiempo es lineal, se debe cumplir que:

dT/dt=kT   (*)

En donde k es una constante y se debe cumplir que:

Si t=0 ⇒ T=70 ;  si t→4 ⇒ T→300 y si t≥4 ⇒ T=300  (**)

La ecuación (*) sería el modelo matemático.

B) Para resolver (*) con las condiciones (**) mediante la Trasnformada de Laplace (TL), aplicamos ésta a ambos lados de (*), recordando que:

L{dT/dt}= sL{T(t)}-T(0) , en donde definiré F(s)=L{T(t)}

Así:

L{dT/dt}= k L{T(t)} ⇔ s F(s)-70=kF(s) ⇒ F(s)=70/(s-k)


Hallando la transformada inversa, teniendo en cuenta que L^-1{(s-a)^-1}=e^at,obtenemos:

L^-1{F(s)}=T(t)=70 L^-1{(s-k)^-1} ⇒ T(t)=70e^kt

Aplicando t→4 ⇒ T→300 :

300= 70 e^4k ⇒ k= 1/4 ln(30/7) ⇒ T(t)=70 (30/7)^t/4 si t < 4

Así:
       70 (30/7)^t/4 si t < 4
T(t)=
       300 si t ≥ 4

La gráfica de dicha función es:



Éxitos!!!...