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Demuestre que la ecuacion de la recta tangente a la curva dada por:

e^x·y+2x²+3y=10, en el punto (0,3), viene dada por : -x + 3


esto me enreda e^xy

Hola,

e^x·y+2x²+3y=10

Derivamos para sacar y' (dy/dx):

Derivada de x·y  respecto de x:

x·y' + y·x' = x·y' + y

Derivada de la función  (la derivada de e^u   es u'·e^u):

(x·y' + y)·e^xy + 4x + 3y' = 0

Sacamos y' factor común:

y'·(x·e^xy + 3) = -4x - y·e^xy

       -4x - y·e^xy
y' = --------------
         x·e^xy + 3

En el punto (0,3)

y' = -3/3 = -1     Esta es la pendiente de la recta:

y = m·x + n = -x + n

como pasa por (0,3)

3 = -1·0 + n             n = 3

recta tangente:

y = -x + 3

gracias galilei.

galilei porque aplicas derivada al exponente?, porque dices con respecto de x. son conceptos que quiero entender

Hola,

Porque la derivada de   e^x   es   e^x  pero la de   e^u   es    u'·e^u   siendo  u una función.

Aprende la tabla en u(x)  o  f(x), no la de 'x'.

Ejemplo:

x³      →    3x²

(2x + 1)³ =  u³    →    u'·3·u² = 2·3(2x+2)²

Otro:

e^x    →    e^x

e^x² = e^u     →   u'·e^u = 2x·e^x²

Esto es la regla de la cadena.

y = (x² + x)³ = u³

dy/du = 3u²
du/dx = 2x + 1 = u'        (prima se coloca cuando es la derivada respecto de x)

y' = dy/dx = dy/du · du/dx = dy/du · u' = 3u²·u' = 3(x² + x)²·(2x+1)

Nota:  dy/dx   se   lee   derivada de 'y' respecto a x (no es un cociente)

Gracias galilei.