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2. Hallar la(s) ecuacion(es) de la recta tangente a la curva x² − y² + 2x − 6 = 0, en el punto cuya ordenada es igual a 3.

Hola, Ingenioso:
Buscamos la recta y-y₀=m(x-x₀) ; tenemos que definir los valores x₀, y₀, m.
(x₀, y₀) puede ser cualquier pto. de la recta, pero debemos buscar justo el pto. de tangencia, ya que pertenece tanto a la recta como a la curva, y será esta quien nos ayude a localizarlo.
m es la pendiente, la inclinación que toma la recta. Para que una recta sea tangente a una curva, deben tener un punto común y estar exactamente igual de inclinadas ambas en ese pto. De nuevo nos ayudará la curva. ¿Cómo obtener la pendiente de la curva? La pendiente ES su derivada..

Hallamos primero el punto de tangencia: nos dicen que y₀=3 (ordenada). Que nos diga la curva qué pasa si y=3:
x²−y²+2x−6= 0 => x²-3²+2x−6=0 => x²+2x−15=0; resolviendo: x=3, x=-5
Luego la curva tiene dos puntos de ordenada 3:  (3,3)  y  (-5,3). Habrá dos tangentes posibles con estos puntos de tangencia.

Vamos por la pendiente m. Hay que derivar la curva, pero esta viene en fª implícita; bueno, teniendo en cuenta que la derivada de y es y':
  x²−y²+2x−6= 0  => 2x-2y·y'+2=0; hemos derivado en ambos miembros. Si despejo y':
  2yy'=2x+2 => yy'=x+1 => y' = (x+1)/y Aquí están todas las infinitas pendientes de la curva, pues toma una inclinación diferente en cada punto. Queremos m para (3,3) y para (-5,3):
                    3+1
m_r = m(3,3)= ------ , sustituyendo las x y las y => m_r = 4/3, para la 1ª recta tgte.
                      3
                      -5+1
m_s =  m(-5,3) = ------ => m_s = -4/3 para la 2ª tgte.
                         3

Ahora armamos cada ecuación siguiendo las instrucciones y-y₀=m(x-x₀) , ecuación punto pendiente de la recta:

r: y - 3 = 4/3 (x - 3)   tgte. por el pto (3,3)

s: y - 3 = -4/5 (x + 5)  tgte. por (-5,3)

¡Venga!

 sin comentario, una cosa que me gustaria llegar a mi carrera es llegar a un nivel de matematicas de resolver las cosas asi y mas aun saber explicarlas.

muchas gracias, de verdad.

Hola, Ingenioso, encantado de ayudarte.
Decía Einstein que si entiendes algo, pero no se lo sabes explicar a tu abuela, es que realmente no lo entiendes.

Ánimo. Detrás de cada problema o concepto que tengas que aprender hay siempre una idea sencilla.

excelente , salvo por los puntos.

s: y + 5 = -4/5 (x - 3)  tgte. por (3,-5) es -5,3

Gracias, Ingenioso. Ya está corregido.

gracias amigo siempre se agradece.